Сложение, разряжение и независимость потоков

Сложение двух потоков состоит в том, что все моменты наступления событий в каждом из потоков относятся к общему времени. При сложении потоков интенсивность суммарного потока . Для выяснения суммарной интенсивности потока событий необходимо знать интенсивность суммируемых потоков и практически не требуется знать внутреннюю структуру потоков.

Н езависимость потока поясним на примере двух потоков. Рассмотрим два потока изображенных на оси времени. Для первого потока рассмотрим , которое может иметь произвольную продолжительность и примыкать к любому моменту времени , а для второго потока - , которое может примыкать к любому моменту времени .

Случайная величина - число событий первого потока, приходящихся на промежуток времени , а - число событий, приходящихся на промежуток времени .

Независимые потоки событий – потоки событий, для которых случайные величины и независимы. Другими словами потоки событий независимы, если число событий попадающих на участок времени первого потока не зависит от того, сколько событий попало на любой участок времени второго потока (возникают обычно при сложении слабо зависимых потоков). При достаточно числе слагаемых суммарный поток - Пуассоновский.

Замечание: следует отметить, что Пуассоновский поток обладает свойством устойчивости по отношению к операции сложения.

Случайное разряжение – операция, при которой некоторые события из потока отсеиваются.

29.

Марковские процессы

Пусть есть система S, которая меняет свое состояние с течением времени (переходит из одного состояния в другое), то в системе протекает случайный процесс.

Под физической системой можно понимать: техническое устройство, группу устройств, предприятия, отрасль, биологический организм и т.д.

Работа раскряжевочной машины.

- раскряжевочная машина ведет раскряжевку хлыстов;

- простаивает из-за отсутствия хлыстов;

- простаивает из-за неисправности.

Характерным обстоятельством для случайных процессов, которые мы рассматриваем, является то, что в любой момент времени t физическая система может, находится только в одном из состояний. Установка не может работать и простаивать одновременно

Марковский процесс – процесс, происходящий в системе, вероятностные характеристики которого в будущем зависят только от настоящих (от состояния системы в момент времени ) и не зависят от того, каким образом система пришла в данное состояние.

Пример:

Мы наблюдаем за системой со стороны и в момент времени знаем, в каком состоянии находится наша система, и знаем предысторию поведения системы для . Нас интересует будущее, т.е. предсказать поведение системы. В точности наш процесс непредсказуемо случайный, но вероятностные характеристики мы можем найти.

На практике встречаются процессы если не в точности Марковские, то в каком-то приближении могут рассматриваться как Марковские. С другой стороны любой процесс можно рассматривать как Марковский, если все параметры из “прошлого,” от которых зависит “будущее” вместим в “настоящее”.

Марковские случайные процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем

Рассмотрим Марковский дискретный процесс. Если переход осуществляется из состояния в состояние через определенные промежутки времени, то процесс с дискретным временем и дискретным состоянием. Однако на практике такие процессы особого интереса не представляют, хотя для них построена теория цепи Маркова. Мы будем рассматривать Марковские процессы, где переход из состояния в состояние осуществляется не в строгие моменты времени, а в моменты времени заранее не известные. Такие процессы – процессы с непрерывным временем.

Процесс с дискретным состоянием – процесс, в котором все его возможные состояния можно занумеровать.

Будем рассматривать только Марковские процессы с дискретным состоянием и непрерывным временем. Мы будем полагать, что система переходит из одного состояния в другое мгновенно под действием потока случайных событий. Как только появляется первое событие потока, то система мгновенно переходит из состояния в состояние .

Системы с дискретным состоянием удобно изображать в виде графиков, которые представляют собой набор квадратиков (каждый квадратик обозначает конкретное состояние), и стрелок указывающих возможные переходы из состояния в состояние. В нашем примере с раскряжевочной машиной:

Будем считать, что переход из состояния в состояние осуществляется под действием потока событий с интенсивностью .

Размеченный график – график, на котором интенсивности стоят возле стрелок перехода.

Для Марковских процессов с дискретным состоянием и непрерывным временем справедливо следующее условие: для того чтобы процесс, протекающий в системе, был Марковским необходимо и достаточно, чтобы все переходы системы из состояния в состояние были Пуассоновскими.

Пуассоновские системы – системы, в которых проходят Марковские случайные процессы.

Для исследования Пуассоновской системы необходимо:

записать все возможные состояния системы;

составить график состояния;

разметить этот график, т.е. указать интенсивности перехода потоков;

указать в каком состоянии находилась система в начальный момент времени.

30.