2.Определение стоимости опциона на момент исполнения

При организованной торговле опционами они обезличены и становятся совершенно обычными ценными бумагами на предъявителя. Опцион может быть куплен или продан в любой момент до даты его исполнения. Определим его цену непосредственно перед исполнением (всякого рода издерж­ками на оформление сделки и т.п. пренебрежем).

Итак, пусть рыночная цена актива , цена исполнения , а — стоимость опциона на покупку. Ясно, что , если и , если . Это можно записать так: . Аналогично в случае опциона на продажу его стоимость .

Теперь отметим еще одно различие в позициях продавца и покупателя опциона. Купивший опцион сразу же несет убытки в размере цены опциона, который он купил. Но на этом все его убытки кончились. В будущем он может только получить доход, причем в случае опциона на покупку теоретически неограниченный — ведь его возможный доход — это разница между рыночной ценой актива в момент исполнения опциона и ценой исполнения. Наоборот, продавший опцион сразу же получил доход в размере стоимости опциона, который он продал. Но на этом все его доходы кончились. Впереди его ждут только возможные убытки, причем в случае опциона на покупку теоретически неограниченные — эти воз­можные убытки есть разница между рыночной ценой актива в момент исполнения опциона и ценой исполнения.

3.Создание безрисковых портфелей с помощью call-опционов

Идея оценки опциона состоит в создании безрискового портфеля путем покупки актива и продажи (выписки) не­скольких опционов на покупку этого же актива. Последующий анализ этого портфеля позволяет определить стоимость опциона. Допустим, поведение цены актива описывается биномиальной однопериодной моделью.

Итак, пусть цена актива = 60 д.е., такова же и цена ис­полнения опциона на покупку. Срок действия опциона евро­пейского типа один месяц. Предположим, что к концу месяца с вероятностью 1/2 цена актива либо поднимется на 15 д.е.,

либо опустится на столько же. В первом случае опцион непосредственно перед исполнением будет стоить 15 д.е., во втором случае не будет стоить ничего. Поэтому в первом случае продавец опциона должен заплатить держателю оп­циона 15 д.е., во втором случае он не должен ничего платить. Так как размах колебаний цен актива равен 30 д.е. и ровно в два раза превосходит колебания стоимости опциона перед исполнением, то для создания безрискового портфеля продавец опционов должен выписать 2 опциона на покупку.

Проверим, что портфель из актива и этих двух опционов действительно безрисковый. В самом деле, в рамках рассматриваемой модели к концу месяца цена актива будет либо 75 д.е., либо 45 д.е. В первом случае владелец портфеля вынужден будет доплатить держателям опционов 30 д.е., во втором случае — ничего, В обоих случаях к концу месяца портфель будет стоить 45 д.е. независимо от цены актива. Это и означает его безрисковость.

Теперь перейдем непосредственно к определению цены опциона. Пусть банковская безрисковая ставка равна 10%. Так как портфель безрисковый, то его современную стои­мость найдем, дисконтируя его стоимость в конце месяца по безрисковой ставке. Итак, его современная стоимость равна 45/(1+0.1) = 41 д.е. Но сейчас актив стоит 60 д.е., поэтому два опциона вместе стоят 60-41=19 д.е. Следовательно, один опцион стоит 9,5 д.е. За такую цену оба опциона и должны быть проданы.

Интересно детально проследить за состоянием продавца опционов. Сначала у него был только актив стоимо­стью 60 д.е. Потом он выписал и продал два опциона, каждый по 9,5 д.е. Теперь у него денег 19 д.е. за проданные опционы, актив стоимостью 60 д.е. и обязательства по обеспечению двух опционов, цена этих обязательств 19 д.е. и они образуют его пассив. Актив и этот пассив вместе образуют безрисковый портфель стоимостью 41 д.е. К концу месяца 19 д.е. возрастут по безрисковой ставке до 19(1+0,1) = 21 д.е., стоимость портфеля возрастет по безрисковой ставке до 41(1+0,1)= 45 д.е. Всего у продавца опционов будет 21+45 = 66 д.е. — в точности как если бы его актив был безрисковым и его стои­мость возросла бы по безрисковой ставке до 60 (1+0,1) = 66. Умелое хеджирование полностью оградило от риска.