- •Вопросы для зачета по математической экономики (2 часть)
- •Дюрация и показатель выпуклости портфеля. Средняя продолжительность платежей – дюрация
- •Вероятностная модель финансового рынка
- •Модель Шарпа – Линтнера
- •1.Линейные временные ряды
- •2.Авторегрессионная модель
- •Авторегрессионная модель
- •Авторегрессионная модель
- •Авторегрессионная модель
- •3.Модель скользящего среднего
- •4.Авторегрессионная модель скользящего среднего
- •5.Моделирование с помощью линейных временных рядов.
- •6.Моделирование с помощью ar(p) и ма(q) Моделирование с помощью
- •Моделирование с помощью
- •7.Моделирование с помощью arma(p,q)
- •8.Сезонные модели
- •Далее рассмотрим следующий ряд разностей, теперь уже четвертого порядка:
- •1.Основные понятия
- •2.Определение стоимости опциона на момент исполнения
- •3.Создание безрисковых портфелей с помощью call-опционов
- •4.Создание безрисковых портфелей с помощью put-опционов
- •5.Создание безрисковых портфелей с помощью put-опционов
4.Авторегрессионная модель скользящего среднего
Авторегрессионная модель скользящего среднего порядка является комбинацией двух моделей: авторегрессионной и скользящего среднего . Она имеет следующий вид:
.
Используя оператор сдвига назад, получим следующую форму записи :
.
Обозначим через и полиномы оператора , т.е.:
тогда модель можно записать так:
.
Разделим полиномы и один на другой и получим:
По определению .
Полученные результаты деления полиномов и позволяют получить весьма важные представления модели в виде авторегрессионной модели и модели скользящего среднего.
Так, как результат деления на получаем следующее - представление для :
,
достаточным условием которого является то, что все нули полинома по модулю больше единицы.
Аналогично, как результат деления на получаем следующее - представление для :
.
Остановимся подробнее на свойствах модели
.
Среднее для этой модели находится легко:
,
откуда, с учетом стационарности , получаем:
.
Этот результат совпадает со значением среднего модели .
Далее положим для простоты, что . Найдем вариацию для модели . Для этого прежде всего посчитаем математическое ожидание произведения :
.
Теперь находим вариацию для :
.
Отсюда, с учетом стационарности и получаем:
, где .
Последнее условие, являющееся условием стационарности , совпадает с условием стационарности .
Чтобы найти автоковариацию модели , умножим обе ее части на :
.
Для находим:
.
Для :
.
Зная автоковариацию и вариацию, легко найти автокорреляцию:
Заметим, что значения автоковариации и автокорреляции для при совпадают с соответствующими значениями автоковариации и автокорреляции для , в то время как при эти значения отличаются на величину и соответственно.
Отметим еще одно важное свойство, присущее моделям любого порядка. Характеристические корни являются и характеристическими корнями . Если
,
где характеристические корни , то, как и в случае , модель является стационарной.
5.Моделирование с помощью линейных временных рядов.
При построении модели, описывающей динамику биржевых индексов, цен акций или облигаций, курса валют и т.д. на основе имеющихся эмпирических данных необходимо осуществление следующей последовательности действий:
определение порядка модели, который делает модель наиболее адекватной для прогнозирования;
оценка параметров модели, т.е. ее коэффициентов;
оценка адекватности построенной модели.
6.Моделирование с помощью ar(p) и ма(q) Моделирование с помощью
Наиболее распространенным способом определения порядка модели является способ, основанный на использовании так называемой частной автокорреляционной функции.
Рассмотрим последовательность авторегрессионных моделей возрастающего порядка:
Коэффициенты называют частной автокорреляционной функцией. Так, частная автокорреляционная функция первого порядка, частная автокорреляционная функция второго порядка и т.д.
Частная автокорреляционная функция первого порядка показывает, какую часть в величину вносит . Соответственно, показывает вклад в величину и т.д. Следовательно, для модели частная автокорреляционная функция порядка , т.е. , должна быть отлична от нуля, иначе порядок модели можно снизить до . В то же время, частная автокорреляционная функция порядка , т.е. , должна быть равна нулю, иначе порядок модели можно увеличить до .
На практике величины частной автокорреляционной функции заранее не известны и рассчитываются на основе имеющихся реализаций с использованием, например, метода наименьших квадратов. Построенные оценки , и т.д. называются выборочные частные автокорреляционные функции. Для них справедливы следующие утверждения:
сходится к при ;
для всех .
В соответствии с найденным значением , строим модель:
.
В случае адекватности построенной модели ряд остаточных членов , где
,
является белым шумом. Для проверки гипотез:
где автокорреляция с лагом ряда применяют так называемую статистику Льюнга-Бокса:
,
которая ассимптотически имеет распределение . Здесь вместо автокорреляций используются выборочные автокорреляции . В качестве параметра можно брать любое целое число, большее порядка модели.