12. Оценка однородности дисперсий (од).

При проведении научных исследований часто приходится сталкиваться с ситуацией, когда необходимо сравнение случайных погрешностей двух или более экспериментов.

В этом случае, если среднее значение не выходит за доверительные границы, то результат этих экспериментов совпадают, т.е. принадлежат к одной и той же генеральной совокупности. Различия средних значений при ОД свидетельствует систематическому смещению результатов. Т.о. задача при сравнении случайных погрешностей сводится к оценке ОД.

Рассмотрим как производится сравнение 2 дисперсий. Значения S₁², S₂², двух выборок с объемом соответственно n₁ и n₂ могут быть сопоставляемы с помощью F-критерия (критерия Фишера). Табличные значения отношения дисперсий (F_табл) даются в зависимости от избранного уровня значимости от числа степеней свободы f₁ = n₁ – 1 и f₂ = n₂ – 2 числителя и знаменателя. Если вычисленное на опыте значение F_эксп > F_табл с доверительной вероятностью р дисперсия , в противном случае между ними нет значимой разности. Обычно при оценке ОД используют значение α=0,05. Обозначается такое значение следующим образом: F_0,05. Если оказалось, что F_эксп > F_0,05, то сравнивают F_эксп при уровне значимости α=0,01, т.е. с табличным значением F_0,01. В случае, когда F_эксп < F_0,01, то для принятия решения о неОД необходимо увеличить число степеней свободы для числителя и знаменателя, т.е. увеличить число параллельных измерений, => продолжить эксперимент. При условии F_эксп > F_0,01 решение о неОД принимается с высокой степенью надежности.

5. Распределением Стьюдента

Методами математической статистики можно показать, что дисперсия от среднего значения зависит от объема выборки следующим образом: (1)

Из (1) следует, что средняя квадратичная погрешность от среднего значения определяется по следующей формуле: (2)

Из (2) следует, что в отсутствии систематической погрешности средняя квадратичная погрешность может быть сделана сколь угодно малой, если увеличивать число параллельных измерений. Однако, для уменьшения погрешности на один порядок, согласно (2), требуется произвести 100 измерений, что в большинстве случаев невозможно ввиду возрастания продолжительности эксперимента и стоимости измерений. С другой стороны, условия отсутствия систематической погрешности фактически означает, что эти погрешности существенно меньше случайных. По мере уменьшения средней квадратичной погрешности с увеличением n наступает такой момент, когда систематическая погрешность становится больше случайной. Никакое дальнейшее увеличение числа параллельных замеров уже не может уменьшить общую погрешность. Основным путем повышения точности измерения является обычно создание метода измерения с меньшим значением , а не увеличение числа параллельных измерений. Выражение (1) в одинаковой степени применимо как для нормального, так и для выборочных распределений. Уменьшение объема выборки при измерениях (когда n < 20-30) приводит к тому, что при одних и тех же значениях средних квадратичных погрешностей и при одном и том же числе параллельных замеров. Одному и тому же значению вероятности соответствует значительно большее случайное отклонение от среднего значения, чем это предполагает закон нормального распределения. Кроме того, если для нормального распределения значения таких отклонений не зависят от числа степеней свободы и определяются только доверительной вероятностью, то для выборочных распределений это число существенно влияет на случайное рассеяние результатов. Если в выражение для параметра U в нормированном нормальном распределений вместо значения стандартной погрешности генеральной совокупности подставить значение выборочного стандартного отклонения и обозначить параметр U через t, то мы получим следующее соотношение: (3) Распределение величины t следует особому закону, исследованный математиком Стьюдентом. Это распределение называется распределением Стьюдента. Вероятностная кривая этого распределения сходно с кривой Гаусса, но более размыта вдоль оси абсцисс. Когда число степеней свободы равно ,кривая Стьюдента совпадает с кривой Гаусса.

На практике также часто используется распределение Пирсона, которая называется Это распределение применяется для оценки погрешности определения дисперсии, для проверки принадлежности выборки генеральной совокупности нормального распределения, а также в качестве критерия однородности нескольких дисперсий. Двух экспериментов часто возникает необходимость оценки равенства генеральной дисперсии на основании сведений о выборочных дисперсиях. Сравнение дисперсий производится на основании статистического критерия Фишера, который называется F–распределением. Это распределение описывается несимметричной кривой и зависит исключительно от числа степеней свободы обоих сравниваемых дисперсий.