Алгебра и теория чисел. Вопросы к экзамену

Вопросы к экзамену по алгебре и теории чисел 1 курс

1. Определение матрицы, виды матриц; сложение матриц; умножение матрицы на число.

2. Свойства операций сложения матриц и умножения матрицы на число.

3. Знак суммирования и его свойства.

4. Произведение матриц и его свойства.

5. Транспонирование матриц и его свойства.

6. Элементарные преобразования матриц. Элементарные матрицы.

7. Связь между элементарными преобразованиями и элементарными матрицами.

8. Определители второго и третьего порядков.

9. Определители n-го порядка, их свойства и вычисление.

10. Определитель транспонированной матрицы.

11. Миноры и алгебраические дополнения.

12. Теорема Лапласа.

13. Разложение определителя по строке (по столбцу).

14. Ранг матрицы.

15. Инвариантность ранга матрицы относительно элементарных преобразований.

16. Разложение невырожденных матриц в произведение элементарных.

17. Теорема об определителе произведения матриц.

18. Обратимые матрицы.

19. Критерии обратимости матриц.

20. Два метода нахождения обратной матрицы.

21. Системы линейных уравнений.

22. Матричная запись системы линейных уравнений.

23. Правила Крамера.

24. Метод Гаусса.

25. Критерии совместности и определенности систем линейных уравнений.

26. Теорема Кронекера-Капелли.

27. Делимость.

28. Свойства делимости.

29. Теорема о делении с остатком.

30. Наибольший общий делитель.

31. Алгоритм Евклида.

32. Теорема о линейном представлении НОД.

33. Взаимно-простые числа.

34. Свойства взаимно-простых чисел.

35. Принцип математической индукции.

36. Метод математической индукции.

37. Основная теорема арифметики.

38. Сравнения. Свойства сравнений.