12.1.4. Деякі застосування інтегралів по області

Геометричні застосування базуються на властивості 6 інтеграла по області.

Оскільки інтеграл по області від функції дорівнює мірі області, то:

– довжину дуги АВ знаходять обчисленням відповідного криволінійного інтеграла першого роду;

– площу s поверхні S знаходять обчисленням поверхневого інтеграла першого роду;

– площу плоскої області знаходять обчисленням подвійного інтеграла;

– об’єм v просторової області знаходять обчисленням відповідного потрійного інтеграла.

Якщо підінтегральна функція , то подвійний інтеграл дорівнює об’єму v циліндричного тіла, яке обмежене поверхнею , областю D та циліндричною поверхнею, направляючою лінією якої є межа області D, а її твірна – паралельна осі Оz.

Якщо є рівняння гладкої поверхні S, D – проекція цієї поверхні на площину хОу, то площа s поверхні S визначається за формулою

. (10)

Тепер вкажемо деякі фізичні значення цих інтегралів.

Якщо підінтегральна функція є густина маси, то інтеграл по області буде сумарною масою, що розподілена в цій області.

Якщо підінтегральна функція є густина електричного заряду, то інтеграл по області буде сумарним зарядом розподіленим в області.

Отже, в залежності від фізичного значення підінтегральної функції сумарну масу або сумарний електричний заряд, що розповсюджені на дузі АВ, поверхні S, плоскої області D або просторової області V, знаходять обчисленням відповідного інтеграла.

Криволінійні інтеграли другого роду найчастіше використовуються для обчислення роботи змінної сили на дузі АВ.

Поверхневі інтеграли другого роду найчастіше використовують для обчислення потоку векторного поля через поверхню S за напрямом нормалі до поверхні .

Потрійні інтеграли використовуються для визначення електричної напруженості та її проекцій (Е_х, Е_у, Е_z) в точці.

Статистичні моменти S_x та S_у матеріальної кривої АВ відносно осей координат Ох та Оу знаходять за формулами:

, (11)

де – густина розподілу маси кривої АВ.

Координати центру ваги С(х_с, у_с) кривої АВ обчислюють за формулами:

, , (12)

де m – маса кривої АВ.

Статистичні моменти S та моменти інерції просторового тіла V відносно координатних площин Оху, Охz, Оуz знаходять за формулами:

(13)

а координати центру ваги С(х_с, у_с, z_c) цього тіла знаходять за формулами:

(14)

де m – маса тіла, – густини маси в точці М(х, у, z).

Аналогічно знаходять статистичні моменти і координати центру ваги плоскої області D.

12.2.1. Обчислення криволінійних інтегралів першого роду

Якщо дуга АВ лежить в площині хОу і задана параметрично

,

тоді і криволінійний інтеграл першого роду обчислюють за формулою:

(1)

Якщо дуга АВ лежить в площині хОу і задана виразом у = у(х), , тоді

(2)

Якщо дуга АВ є просторовою і задана параметрично

х = х(t), у = у(t), z = z(t), , тоді

і інтеграл обчислюють за формулою:

(3)

Приклад 1. Знайти масу m, що розподілена з густиною на верхній половині кола .

Розв’язання. Використовуючи фізичне значення інтеграла по області, маємо

.

Рівняння дуги АВ (заданого півкола) можна записати у явному вигляді

.

Оскільки , то одержимо: (одиниць вимірювання).

1. Обчислити криволінійні інтеграли:

а) , де L – відрізок прямої між точками А(0, –2) та В(4, 0).

б) , де L – сторони прямокутника з вершинами А(0, 0), В(4, 0), С(4, 2), D(0, 2).

в) , де L – коло: , .

г) , де L перший виток гвинтової лінії:

х = acost, у = asint, .

д) , де L – чверть кола: х² + у² + z² = R², у = х, що лежить в першому октанті.

2. Знайти довжину дуги гвинтової лінії:

від точки 0(0, 0, 0) до точки В(а, 0, а).

3. Знайти масу чверті еліпса х = acost, , що розташована в першому квадранті, якщо густина маси в кожній точці дорівнює ординаті цієї точки.