8. Показатели адекватности математической модели.

КОЭФФИЦИЕНТ МНОЖЕСТВЕННОЙ КОРРЕЛЯЦИИ

Соответствие модели исследуемого объекта определяют соотношением суммы квадратных отклонений, обусловленной регрессией полной суммы квадратных отклонений. Это отношение называется коэффициентом детерминации.

R²- коэффициент множественной корреляции. R²-имеет физический смысл: он показывает, какая часть дисперсии выходной переменной описывается регрессионным уравнением или какая часть дисперсии объясняется нашими знаниями в данном процессе.

Рассмотрим 2 случая: 1)Наша математическая модель совершенно не описывает результаты эксперимента SS_обр=0, при этом SS_ост= SS обр→R²=0

Объект полностью не изучен. 2)Мы сможем измерить n- число входов и полностью описать значение выходных сигналов. Ошибка для всех экспериментов равна 0, тогда R²=0. Таким образом, R² изменяется:0. ≤R² ≤1

R² не может быть меньше 0; чем ближе R²к 1, тем модель более точно описывает объект. В связи с этим модель более адекватна.

Среднеквадратическое отклонение корреляционной функции:

Оценка коэффициента детерминации величина случайная и для нее существует 2 задачи

- действительно ли R²>0 те значим ли R²

- если R² значим то в каком диапазоне истинных значений он находится

Показатель адекватности модели

Т к коэф-т детерминации случайная величина то решают 2 задачи

- оценка достоверности коэф-та детерминации, те проверка условия R²>0

- оценка доверительного интервала, которая производится с помощью х критерия . Для этого оценивается СКО коэф-т детерминации

Истинное значение находится в коредоре

Если R> доверительного интервала то коэ-т детерминации считается значимым

9. F-КРИТЕРИЙ АДЕКВАТНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

Введем понятие остаточной ошибки модели. Она характеризует точность прогноза по регрессионному уравнению. Данная ошибка может быть велика или нормальна. Для того что бы это определить необходимо ее с чем то сравнить.Ведем понятие дисперсии измерения

Пусть это случайная ошибка задаваемая прибором. Эта ошибка характеризуется своей абсолютной величиной e(S_c²,2S_c), Ведем понятие дисперсии воспроизводимости –это дисперсия в переменной при постоянных значениях х и влияния неконтролируемых возмущений

Методика расчета дисперсии воспроизводимости

выбирается значение х=10 и х=20. При данных значениях фиксируется значение выходного сигнала у. Через определенное t при котором входные х1 и х2 изменятся. Вылавливаем момент когда х1 и х2 примут первоначальное значение . при этом возмущающие сигналы имеют другие значения.

Измерение в данном эксперименте выходной величины определяется изменением неконтролируемых величин и рассчитывается дисперсия воспроизводимости:

Сравнивая остаточную сумму квадратных отклонений с дисперсией воспроизводимости, делается вывод об адекватности модели

Проверка достоверности производится по коэ-ту Фишера

Методика проверки:

определяется остаточная сумма квадратов :

определяется дисперсия воспроизводимости

рассчитывается F_рас

находим критерий фишера по таблице с учетом степени свободы для ост дисперсии и дисперсии воспр-ти F=(V,V2)

сравниваем Fрасч и Fтабл : Fрасч < Fтабл остаточная дисперсия не значимо отличается от дисперсии воспр-я и регрессионная модель адекватно описывает экспериментальные данные ; Fрасч > Fтабл то остаточная дисперсия значимо отличается от дисперсии воспр-я и необходимо изменить структуру регресс модели.

10 МЕТОД НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Нелинейное уравнение находится двумя способами:

1)Метод линеаризации, 2)Использование метода нелинейного программирования. Основные виды зависимостей между переменными:

-Функциональная зависимость Y=F(X) - каждому входному значению Х соответствует 1 выходной сигнал Y.

-Зависимость случайной величины от неслучайной. Такая зависимость имеет место, если есть некоторые факторы или выходная переменная измеряется с ошибкой. каждому входному значению Х соответствует 1 выходной сигнал Y.

В практике используют зависимость среднего значения выходного сигнала при заданном значении входного сигнала Х, то есть так называемого условия математического ожидания от входного сигнала. Задается некоторое значение Х, при этом фиксируется выходной сигнал, который вследствие наличия шума е будет является случайным. Таким образом, находится среднее значение, откуда строиться зависимость среднего значения от значения входных факторов.

-Зависимость случайной величины от случайной величины, то есть зависимость входного и выходного сигналов. Эти величины являются случайными в виду их измерения с ошибками или влияния на них некоторых факторов. Для данного анализа используется следующая модель:

В данном случае производится измерение двух параметров

f=N(0,σ²,s); δ=N(0,σ²). При этих условиях связь между f и δ отсутствует, сама корреляционная связь, то есть математическое ожидание. =0 или не принадлежит участку. То есть с точки зрения математического описания объекта в данном случае представляет собой зависимость условия математического описания.

M {η /ξ} – среднее значение математического ожидания функции х.

М(η)=М(у+δ)=М(у)+М(δ)=М(у).

Таким образом, взятие среднего значения выходной переменной, используемого выходного сигнала у, аналогично для использования среднего значения измерения входного сигнала: M{ξ+f}=M(x)=x.

Таким путем при построении математической модели исключается влияние случайных составляющих, но для этого необходимо определить объем выборок, то есть экспериментальные данные. Такие задачи решаются методом корреляционного анализа. При этом к регрессионному анализу добавляется вопрос анализа тесноты связи.