4 Оценка значимости величины X

Величину X можно найти, исходя из следующих критериев:

Наименование проверки	Тип критерия
Проверка значимости и построение доверительных интервалов для оценок X, bx	t-критерий(распределение Стьюдента)
Оценка дисперсий случайных величин Sx2 , Sb2, SR2	X2- распределение
Оценка отношений дисперсий S12/S22 при анализе адекватности модели	F-критерий

t-критерий, X²- распределение, F-критерий – значения табличные и находятся по справочникам. Эти функции распределены, аппроксимированы математически и значения критериев получаются при использовании соответствующих команд. Функции распределения зависят от количества экспериментов, и для учета этого фактора вводится понятие – число степеней свободы. С точки зрения математики, это избыточность информации над количеством уравнений связи, а, с точки зрения объекта управления, это количество независимых выходных переменных.

Применение t-критерия. Чтобы оценить доверительный интервал, используют t-критерий, при заданном уровне значений b и количестве экспериментов υ, где υ используют для того чтобы узнать на какой кривой необходимо работать.

В качестве X могут быть случайные величины, например, коэффициенты корреляции и коэффициенты регрессии.Например, имеется случайная величина. Оценка случайной величины может отличаться от истинной характеристики и от оценки, например, коэффициента регрессии при истинном нулевом значении, при этом сама величина может быть ненулевой.

Например, истинное значение отличается от оценки не более чем на величину (t*S_b), если наша оценка больше чем (t*S_b),, то считается, что значение b≠0.

Χ² – РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Введём нормализованные (стандартные) переменные:

Найдём квадраты этих переменных:

Далее рассчитываем сумму, всех i-х членов:

Обозначим полученную случайную величину:

- это случайная величина, которая имеет все характеристики случайных величин, в том числе функцию распределения.

χ² интересна тем, что такая величина получается при анализе дисперсии - характеристики разброса случайной величины. Если мы имеем дело с системой измерения, то это характеристика точности измерения;Если система регулирования, то точность системы;Если имеем дело с математической моделью, то это оценка адекватности системы. Функция распределения χ² зависит только от числа степени свободы (количество экспериментов), то есть f(χ²)=f(ν). Аналитический вид функции распределения:

где -гамма-функция.

Количественные характеристики χ² – распределения. Среднее Е(χ²) = ν. Дисперсия D(χ²) = 2ν

6,7 Основное уравнение дисперсионного анализа.

ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ

Выходная величина колеблется относительно средней величины и имеет определенный разброс.величина е увеличивает этот разброс. Для оценки используется коэффициент детерминации R² который показывает какая часть дисперсии y описывается регрессионной моделью.

-ошибка данного уравнения

В основе дисперсионного анализа лежит разделение дисперсии на части или компоненты. Вариацию, обусловленную влиянием фактора, положенного в основу группировки, характеризует межгрупповая дисперсия σ2. Она является мерой вариации .

Полная сумма квадратов. Сумма квадратов отклонения обусловлена регрессией SS_n=SS_оьр+SS_ост. Ошибка е- нормальная распределенная случайная величина с нулевым средним значением и дисперсией. Ошибка модели на каждом шаге определяется разностью количественной оценки, которая является дисперсией в данном случае остаточной

(N-m-1) - число степеней свободы, уменьшается от N для расчета среднего от (N-1) до (N-m-1) по мере использования экспериментальных данных, в данном случае f=N-m-1, где m - количество коэффициентов уравнения без учета b₀.

Примечание. Диапазон колебаний случайной величины характеризуется связанными между собой двумя величинами:—Дисперсия, которая легко рассчитывается по экспериментальным данным;—Коридор ошибки на временном графике. Зависит от доверительной вероятности, для

p=0.95 и δ=±2*S ,где δ - абсолютная остаточная ошибка.

Существует еще одно преимущество дисперсионного анализа перед обычным t-критерием: дисперсионный анализ позволяет обнаружить эффекты взаимодействия между факторами и, поэтому, позволяет проверять более сложные гипотезы.