2 Регрессионный анализ. Постановка задачи

Проведем построение математической модели линейного по параметрам объекта. Объект описывается уравнениями:

y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + … +β_nx_n Математическая модель находится как:

ŷ= b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + … + b_nx_n, где x₁, x₂…x_n – вектор конкретных параметров.

B = b₀, b₁, … b_n – вектор параметров модели.

Регрессионный анализ включает в себя:

—Метод наименьших квадратов, используемый для оценки параметра вектора коэффициентов.—Дисперсионный анализ используется для оценки адекватности модели и для оценки значимости коэффициентов.

Предпосылки регрессионного анализа—Количество экспериментальных данных должно иметь N≥30*m, где N – количество экспериментов, m – количество входных факторов. Выходная переменная : —имеет нормальный закон распределения. —стационарна по дисперсии, то есть дисперсия выходного параметра в процессе эксперимента не изменяется.— является детерминированной, то есть измеряется с малыми ошибками.—Входные переменные х₁, х₂, … х_n стохастически не связаны между собой, то есть коэффициент парной корреляции равен нулю. —Следующие друг за другом значения выходной переменной также не коррелированны, то есть период дискретизации больше времени затухания корреляционной функции

Построение математической модели

Одним из главных элементов, необходимых для эффективного решения сложных задач является построение и использование мат модели.

Модель – это представление объекта или системы в некоторой форме, отличной от формы их реального существования.

Модели могут принимать самую разную форму и записываться с разной мат степенью детализации. Выбор такого уравнения сложности, которое реализует модель, делая ее полезной, определяет ее использование и планирование. Для описания свойств некоторых объектов и систем подходят числовые таблицы или графические изображения, а также гистограммы, построенные с учетом экспериментальных данных. Такие модели называются графическими.

Построение мат модели опирается в основном на данные наблюдения. Существует два способа

1. моделирование или аналитический методом построения модели.

2. используются экспериментальные данные. В этом случае ведется регистрация вх и вых сигналов системы. И модель формируется на основе обрабатываемых экспериментальных данных. Этот способ называется идентификацией.

теория мнк (метод наименьших квадратов)

В процессе эксперимента производится—набор дискретных значений х, у,

—данные заносятся в таблицу,—строится корреляционное поле– зависимости выхода от входа если бы все точки были на 1 прямой, то была бы зависимость

—в результате влияния неконтролируемых входов помехой e(x) имеется разброс точек вокруг этой прямой. Для каждой точки имеется невязка которая определяется /Для построения единственной прямой имеющей минимальную ошибку используют метод минимальных квадратов(МНК)Суть метода:нахождение коэффициентов регрессионного уравнении при обеспечении минимальной σ ² т е сумма квадратов отклонений должна быть минимальной. Выберем такую линию, которая является средней линией корреляционного поля. Математически она может быть выражена как линия, которая имеет минимальную сумму квадратических отклонений от всех экспериментальных точек. Данное выражение является критерием уравнения модели: Это выражение позволяет найти уравнения для определения коэффициентов b₀, b₁ при условии, что м→ min. Условием экстремума функции является равенство нулю производной данной функции по исследуемому параметру, то есть по параметрам b₀, b₁. Если ошибка будет обнаружена в коэффициенте b₀, то линия тренда пройдет либо выше, либо ниже корреляционного поля. Несовпадение графиков расчетной линии с корреляционным полем означает наличие ошибки в расчете, таким образом, необходимо провести проверку в расчете.