
- •Содержание
- •Тема 1 Элементы линейной алгебры 2
- •Тема 2. Аналитическая геометрия 25
- •Тема 1 Элементы линейной алгебры
- •1.1 Определители второго и третьего порядков
- •1.2 Определители n-го порядка
- •1.3 Система n линейных уравнений с n неизвестными
- •1.4 Матрицы. Действия над матрицами
- •1.4.1 Основные действия над матрицами
- •1.5 Матричный способ решения системы линейных уравнений
- •1.6 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
- •Тема 2. Аналитическая геометрия
- •2.1 Декартовы координаты на прямой, на плоскости и в пространстве
- •2.2 Вектор. Основные понятия. Действия над векторами
- •2.3 Простейшие задачи метода координат
- •1. Расстояние между точками
- •2. Деление отрезка в данном отношении
- •2.4 Уравнение линии. Прямая на плоскости
- •2.5 Геометрический смысл линейных неравенств
- •2.6 Уравнение поверхности в пространстве. Плоскость
- •2.7 Применение определителей к решению некоторых задач аналитической геометрии
- •2.8 Обзор кривых второго порядка
- •Список литературы
2.4 Уравнение линии. Прямая на плоскости
Одним из важнейших в аналитической геометрии является вопрос об уравнении линии на плоскости.
Всякая линия есть множество точек плоскости, координаты которых должны быть связаны некоторым условием. Это условие записывается в виде уравнения.
Определение. Уравнение F(х, у)=0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на этой линии.
В этом случае говорят: уравнение F(х, у)=0 определяет эту линию.
Пример № 4.
Показать, что уравнение х2+у2=r2 определяет окружность.
Окружностью называется множество точек плоскости, расстояние каждой из которых до данной точки постоянно. Пусть М(х, у) – любая точка плоскости.
Расстояние
этой точки от начала координат
Тогда
уравнению х2+у2=r2
удовлетворяют только те точки, для
которых
r,
т. е. точки, лежащие на окружности
радиуса r
с центром в начале координат. Если же
точка не лежит на окружности, то расстояние
r.
Итак, уравнению х2+у2=r2 удовлетворяют координаты любой точки окружности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на окружности. Значит, уравнение х2+у2=r2 определяет окружность при любом r0.
Очевидно, уравнение (х-х0)2+(у-у0)2=r2 определяет окружность с центром в точке С(х0, у0) радиуса r0.
Например, уравнение х2+(у+1)2=1 определяет окружность радиуса r=1 с центром в точке С(0; -1).
Простейшей линией является прямая на плоскости. Рассмотрим различные виды уравнения прямой.
1. Уравнение
прямой, проходящей через данную точку
М0(х0,у0)
перпендикулярно данному вектору
=
(А; В).
Рисунок - 22
Чтобы вывести уравнение прямой, возьмем на ней любую точку М(х, у), которая может по прямой перемещаться.
В
любом случае вектор
,
ограниченный данной точкой М0(х0,у0)
и произвольной точкой М(х, у), всегда
лежит на прямой
и поэтому перпендикулярен данному
вектору
(А;
В). Найдем координаты вектора
и запишем условие перпендикулярности
векторов
и
.
А
(х – х0)
+ В
(у – у0)
= 0.
Полученному уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой и не могут удовлетворять координаты точки, не лежащей на прямой (тогда условие перпендикулярности не будет выполняться).
А (х – хо) + В (у – у0) = 0
– уравнение
прямой, проходящей через данную точку
перпендикулярно данному вектору. Вектор
(А;
В) называют нормальным
вектором.
В уравнении раскроем скобки:
А х + В у + (–А х0 – В уо) = 0
Обозначим число – А х0 – В у0 = С. Уравнение прямой примет вид:
А х + В у + С = 0
Его
называют общим
уравнением прямой, а коэффициенты при
х и у задают нормальный вектор
.
Заметим, что уравнение прямой – уравнение первой степени с двумя переменными. Поэтому в аналитической геометрии прямую линию называют линией первого порядка.
2. Уравнение
прямой, проходящей через данную точку
М0(х0,
у0)
параллельно данному вектору
=(m;
n).
Рисунок - 23
Пусть
М(х, у) – любая точка прямой. Тогда векторы
и
всегда коллинеарны. Запишем условие
коллинеарности векторов
;
у–у0)
и
=(m;
n):
уравнение
прямой, параллельной вектору
=(m;
n).
3. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки М1(х1, у1) и М2(х2, у2)
Рисунок - 24
Для
любой точки М(х, у) прямой векторы
=(х – х1;
у – у1)
и
=
(х2 – х1;
у2 –у1)
всегда коллинеарны, а потому
– искомое уравнение.
4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Выведем
уравнение прямой, проходящей через
точку М0(х0,
у0)
под углом
к оси абсцисс Ох.
Угол
между прямой и осью Ох называют углом
наклона прямой, а угловым коэффициентом
k
прямой называют тангенс угла
наклона этой прямой, т. е. k
=tg
.
Рисунок – 25
Для
любой точки М(х, у) прямой отношение
равно
,
поэтому
или у–у0=k(х–х0).
Получили уравнение прямой, проходящей через данную точку М0(х0, у0) в заданном направлении у–у0 = k (х–х0)
Здесь
– угловой коэффициент прямой. Угол
наклона
Если точка М0 – точка пересечения прямой с осью ординат Оу, то ее координаты х0= 0, у0= b. Уравнение принимает вид: у–b=kx, или у = k x + b
Рисунок - 26
– уравнение прямой с угловым коэффициентом, b – начальная ордината прямой.
5. Угол между прямыми
Пусть даны две прямые своими общими уравнениями:
А1х+В1у+С1=0 и А2х+В2у+С2=0
Так
как
= (А1;
В1)
и
– нормальные векторы данных прямых, то
угол
между прямыми равен углу между нормальными
векторами и
.
Если
две прямые заданы уравнениями с угловым
коэффициентом:
и
,
то угол
между ними удобнее вычислять по формуле:
,
(20)
доказательство которой легко усматривается из рисунка:
Рисунок - 27
Если
прямые перпендикулярны, то 1 + k1
k2
=
0 и
.
Если прямые параллельны, то
k1 = k2.
Пример № 5
Проверить, что четыре точки А(–2;–2), В(–3;1), С(7;7) и D(3;1) служат вершинами трапеции, и составить уравнение высоты, опущенной из вершины А.
В трапеции две стороны параллельны, а две – нет. Составим уравнения каждой из четырех сторон по формуле.
Уравнение
АВ:
или
у+2=-3(х+2).
Уравнение
ВС:
,
или
у–1=
.
Уравнение
CD:
или
у–7=
.
Уравнение
DА:
,
или
у-1=
.
Сравним
угловые коэффициенты полученных прямых;
они равны для прямых ВС и DA:
.
ВС и DA – основания трапеции, АВ и СD – боковые стороны ее.
Высота
трапеции перпендикулярна основанию, и
угловой коэффициент прямой, совпадающей
с высотой, равен
.
Составим уравнение прямой, проходящей
через точку А(–2,–2) с угловым коэффициентом
k=
по формуле:
у+2=
или 5х+3у+16=0.
Построением убедимся в правильности решения.
Рисунок - 28