2.3 Простейшие задачи метода координат

При решении чисто геометрических задач используются формулы и правила, позволяющие вычислить длину отрезка или вектора, расстояние между точками, угол между векторами или осями, найти точку, делящую данный отрезок.

Рассмотрим эти задачи.

1. Расстояние между точками

А (х₁, у₁, z₁) и В(х₂, y₂, z₂):

=. (17)

Эта же формула позволяет вычислить длину вектора.

2. Деление отрезка в данном отношении

Пусть в пространстве даны две точки М₁ и М₂. Говорят, что точка М делит отрезок М₁М₂. в отношении , если

Рисунок - 17

Точка М делит отрезок М₁М₂ в отношении .

Точка N делит тот же отрезок М₁М₂ в отношении .

Видимо, при мы получим середину отрезка.

Если известны координаты начала М₁ и конца М₂ отрезка, то координаты точки М, делящей отрезок М₁М₂ в отношении , находят по формулам:

, , (18)

где т. М₁(х₁, у₁, z₁), т. М₂(х₂, у₂, z₂), т. М(х, у, z).

Координаты середины отрезка получают при :

(19)

Например, если т. А(-2, 3, 4), т. В(0, 1, -2), то координаты середины отрезка АВ получим из формул:

z=

Итак, точка С(-1, 2, 1) является серединой отрезка АВ.

3. Угол между векторами вычисляется по формуле cos

4. Условие перпендикулярности двух векторов: х₁х₂+у₁у₂+z₁z₂=0.

5. Условие коллинеарности двух векторов:

Если векторы коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны.

Пример № 1.

Даны три вершины параллелограмма: А(4;2), В(5;7), С(-3;4). Найти четвертую вершину D, противолежащую вершине В.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством диагоналей параллелограмма: диагонали его, пересекаясь, делятся точкой пересечения пополам.

Пусть точка М – точка пересечения диагоналей параллелограмма АВСD.

Тогда точка М – середина отрезка АС; координаты точки М найдем из формул:

А

Рисунок - 18

Итак, т. М(.

Но точка М является серединой и отрезка ВD. Поэтому верны равенства:

и .

; .

Из этих равенств находим координаты вершины D(-4, -1).

Проверить правильность решения можно, построив все вершины параллелограмма.

Рисунок - 19

Пример № 2.

Найти центр тяжести треугольника, зная координаты его вершин:

А(1;4), В(-5;0), С(-2;-1).

Центр тяжести треугольника лежит в точке пересечения медиан, которая делит отрезок любой медианы в отношении 2:1, считая от вершины.

Точка М делит отрезок СD в отношении =2, а точка D – середина стороны АВ.

Рисунок - 20

;

Середина стороны АВ – точка D(-2;2). Координаты точки М найдем, рассматривая отрезок СD.

Итак, центр тяжести треугольника лежит в точке М(-2,1).

Построим все точки и убедимся, что решение верно.

Рисунок - 21

Пример № 3.

Проверить, что четырехугольник, вершины которого находятся в точках А(5; 2; 6;), В(6; 4; 4), С(4; 3; 2) и D (3; 1; 4), есть квадрат.

Квадратом является четырехугольник, у которого стороны взаимно перпендикулярны и длины сторон равны.

Запишем координаты векторов, совпадающих со сторонами:

=(6-5; 4-2; 4-6)=(1; 2; -2)

=(4-6; 3-4; 2-4)=(-2; -1; -2)

=(3-4; 1-3; 4-2)=(-1; -2; 2)

=(5-3; 2-1; 6-4)=(2; 1; 2)

Проверим, выполняется ли условие перпендикулярности для каждой пары смежных сторон-векторов.

=1(-2)+2(-1)+(-2)(-2)=-2–2+4=0, что и доказывает, что .

=(-2)(-1)+(-1)(-2)+(-2)2=2+2–4=0, т. е. .

=(-1)2+(-2)1+22=0, т. е. .

=21+12+2(-2)=0, т. е. .

Мы установили, что стороны четырехугольника взаимно перпендикулярны. Покажем, что и длины сторон его равны.

,

Итак, АВСD – квадрат. Заметим, что построением эту задачу не проверить, так как точки заданы не на плоскости, а в пространстве.