
- •Содержание
- •Тема 1 Элементы линейной алгебры 2
- •Тема 2. Аналитическая геометрия 25
- •Тема 1 Элементы линейной алгебры
- •1.1 Определители второго и третьего порядков
- •1.2 Определители n-го порядка
- •1.3 Система n линейных уравнений с n неизвестными
- •1.4 Матрицы. Действия над матрицами
- •1.4.1 Основные действия над матрицами
- •1.5 Матричный способ решения системы линейных уравнений
- •1.6 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
- •Тема 2. Аналитическая геометрия
- •2.1 Декартовы координаты на прямой, на плоскости и в пространстве
- •2.2 Вектор. Основные понятия. Действия над векторами
- •2.3 Простейшие задачи метода координат
- •1. Расстояние между точками
- •2. Деление отрезка в данном отношении
- •2.4 Уравнение линии. Прямая на плоскости
- •2.5 Геометрический смысл линейных неравенств
- •2.6 Уравнение поверхности в пространстве. Плоскость
- •2.7 Применение определителей к решению некоторых задач аналитической геометрии
- •2.8 Обзор кривых второго порядка
- •Список литературы
Тема 2. Аналитическая геометрия
2.1 Декартовы координаты на прямой, на плоскости и в пространстве
Прямую
линию с указанным на ней направлением,
началом отчета и единицей масштаба
назовем числовой осью. Каждому
действительному числу Х на числовой
оси соответствует единственное число,
которое называется координатой данной
точки.
Рисунок - 2
Здесь числа х2х10, х30.
х3, х1, х2, х - координаты точек Q, F, N, M соответственно. Записывают:
Q (х3), F (x1), N(x2), M (x).
Точки F и N ограничивают отрезок FN. Очевидно, его длина FN = х2- х1.
Две взаимно перпендикулярные оси на плоскости с общим началом и одинаковой единицей масштаба образуют декартову прямоугольную систему координат на плоскости. Одна из осей - ось абсцисс Ох, другая - ось ординат Оу.
Каждой точке плоскости соответствует единственная пара чисел х, у.
x, у называют координатами точки М и записывают М (х, у).
Рисунок - 3
В пространстве декартова прямоугольная система координат представляет собой совокупность трех взаимно перпендикулярных осей с общим началом и одинаковой единицей масштаба. Это ось абсцисс Ох, ось ординат Оу и ось аппликат Оz. Каждая точка пространства М имеет координаты х, у, z. Записывают: М (х, у, z).
Рисунок - 4
2.2 Вектор. Основные понятия. Действия над векторами
Вектором называется направленный отрезок.
Будем
обозначать вектор либо символом
,
где точки А
и В
– начало и конец направленного отрезка,
либо символом
(малая латинская буква с чертой).
Для обозначения длины вектора будем использовать символ модуля:
– длина
вектора
,
– длина
вектора
.
Вектор
называется нулевым
(или
нуль-вектором), если начало и конец его
совпадают. Нулевой вектор не имеет
определенного направления, длина его
равна числу 0. Записывают:
= 0.
Векторы
называются коллинеарными,
если они лежат на одной прямой или на
параллельных прямых. Если векторы
и
коллинеарны, то записывают:
.
Два
вектора называются равными,
если
они коллинеарны, имеют
одинаковую
длину и одинаковое направление.
Записывают:
=
.
Понятно, что вектор можно переносить параллельно самому себе в любую точку пространства, т.е. изучаемые в геометрии векторы являются свободными.
Векторы называются компланарными, если они лежат в одной или в параллельных плоскостях.
Рассмотрим
векторы, совпадающие с ребрами куба.
Рисунок – 5
Векторы
и
коллинеарны, но не равны.
Векторы
,
,
,
,
компланарны, так как лежат в параллельных
гранях.
Векторы
,
,
равны:
=
=
.
В
квадрате MNKZ
векторы
,
,
,
,
имеют одинаковые длины, но не равны.
Если изменим направление у двух векторов,
то можно утверждать, что
=
и
=
.
Рассмотрим векторы, совпадающие со сторонами ромба ABCD.
Здесь
=
,
но
,
,
хотя длины векторов, совпадающих со
сторонами ромба, равны:
=
=
=
.
Линейными операциями над векторами называют сложение векторов и умножение вектора на число.
Рисунок - 6
Суммой
+
двух векторов
и
называется вектор
,
идущий из начала вектора
в конец вектора
при условии, что начало вектора
совпадает с концом вектора
.
Записывают:
=
+
.
Рисунок - 7 Рисунок- 8
Это
правило называется "правилом
треугольника"
(Рисунок -7 ). Для сложения двух векторов
можно использовать "правило
параллелограмма" (Рисунок
-8): если векторы
и
приложены к общему началу и на них
построен параллелограмм, то суммой
и
этих векторов является вектор, совпадающий
с диагональю параллелограмма, идущей
из общего начала векторов
и
.
Сумму
трех, четырех и большего числа векторов
можно построить по
"правилу многоугольника":
начало каждого последующего вектора
совмещают с концом предыдущего, а суммой
всех векторов является вектор, идущий
из начала первого вектора в конец
последнего. На рисунке 9 построена сумма
четырех векторов
+
+
+
.
Рисунок – 9
Три
вектора в пространстве можно складывать
по "правилу
параллелепипеда": если
на трех векторах
,
,
,
как на ребрах, построить параллелепипед,
то его диагональ, выходящая из общего
начала данных векторов, и будет их суммой
(Рисунок 10):
=
+
+
.
Рисунок - 10
Произведением
вектора
на число
называется
вектор
,
коллинеарный вектору
,
имеющий длину, равную
,
одинаково с вектором
направленный в случае
0
и противоположно с ним направленный в
случае
0.
Записывают:
=
.
Когда
=0,
для любого вектора
произведение
равно нуль-вектору: 0
=
.
Когда
=1,
1
=
.
Когда
=
1,
(-1)
=-
- вектор, противоположный
вектору
.
Итак,
при умножении вектора на число получаем
вектор, коллинеарный данному. Поэтому,
если известно, что
=
,
где
- число, имеем два коллинеарных вектора
и
.
Иначе говоря, равенство
=
является условием
коллинеарности
векторов
и
.
Для
примера рассмотрим векторы, совпадающие
со сторонами треугольника АВС:
=
,
=
.
Требуется
выразить через векторы
и
вектор
,
где О – точка пересечения медиан
треугольника.
Известно,
что точка О пересечения медиан треугольника
делит отрезок медианы в отношении 2:1,
считая от вершины. Поэтому
=2/3
,
где точка D
– середина стороны СВ.
Рисунок - 11
Но
вектор
=1/2
=1/2
;
=-1/2
.
В
треугольнике САD
вектор
=
+
=
-1/2
+
.
Искомый
вектор
=-2/3(-1/2
+
)=
1/3
-2/3
.
Итак,
=1/3
-2/3
.
Заметим, что разность
векторов
и
можно рассматривать как сумму вектора
и вектора, противоположного вектору
:
–
=
+(–1)
=
+(–
).
В
нашем примере из треугольника САD
можно получить вектор
=
–
=1/2
–
.
Если
вектор
умножить на число 1/
,
получим так называемый единичный
вектор
вектора
(или орт вектора
),
который обозначается
0.
Итак, орт вектора или единичный вектор
вектора
0=1/
=
/
;
0=1.
Принято
единичные векторы на координатных осях
Ох, Оу, Оz
обозначать
,
,
соответственно.
Линейные операции над векторами обладают теми же свойствами, что и линейные операции над матрицами. Укажем некоторые из них:
1)
+
=
+
– перестановочный закон сложения;
2)
+(
+
)=(
+
)+
– сочетательный закон сложения;
3)
(
)
= (
)
– сочетательный закон умножения на
число;
4)
(
+
)=
+
;
5)
(+
)
=
+
– распределительные законы.
Рассмотрим
координаты вектора, для чего перенесем
вектор
параллельно самому себе так, чтобы его
начало совпало с началом координат.
Пусть конец вектора – точка М.
Координатами вектора назовем координаты его конечной точки.
Рисунок
- 12
Рисунок – 13
Так
как координатами точки на плоскости
являются два числа х и у, то на плоскости
вектор
задается двумя координатами.
Записывают:
=(х,
у)
(Рисунок - 12).
В
пространстве вектор
задается тремя координатами х,
у
и z.
Записывают:
=(х,
у, z)
(Рисунок 13).
Нетрудно показать, что при сложении векторов складываются их соответствующие координаты, а при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
Если
даны координаты векторов
и
=(х1,
у1,
z1),
=(х2,
у2,
z2)
и
=
+
;
=
-
;
=
,
то координаты векторов
,
,
легко находятся:
=(х1+х2;
у1+у2;
z1+z2),
=(x1-x2;
y1–y2;
z1–z2),
=(
х1;
у1;
z1).
Видно, что длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:
=
=
.
(10)
В плоском случае достаточно считать третью координату z равной нулю.
Если
вектор
ограничен двумя точками, координаты
которых заданы: т. А (х1,
у1,
z1),
т. В (х2,
у2,
z2),
то легко найти координаты самого вектора
.
Рисунок - 14
На
рисунке 14 видно, что вектор
можно получить как разность векторов
и
,
где т. О – начало координат:
=
–
,
=(х1,
у1,
z1),
=(х2,
у2,
z2).
Тогда
координаты вектора
равны разности соответствующих координат
конца и начала вектора:
=(х2–х1;
у2–у1;
z2–z1).
Расстояние
между точками А и В вычислим как длину
вектора
:
АВ==
.
(11)
Углом
между векторами
и
назовем наименьший угол, на который
надо повернуть один вектор до совпадения
его с другим.
Рисунок - 15
Записывают
()=
.
Покажем
угол между вектором
и координатной осью Ох, например.
Обозначим этот угол через
.
Пусть
=
.
Рисунок - 16
Очевидно,
что cos=
=
.
Обозначим
через
,
,
углы между вектором
и координатными осями Ох, Оу, Оz
соответственно. Тогда
cos=
,
cos
=
,
cos
=
.
(12)
Эти формулы определяют направляющие косинусы вектора и полностью задают направление вектора в пространстве. Направляющие косинусы вектора удовлетворяют условию:
cos2+cos2
+cos2
=1.
(13)
Это равенство легко получить, учитывая, что длина вектора
=
.
(14)
В школьном курсе рассматривается еще одна операция над векторами – скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Обозначают
скалярное произведение векторов
и
символами
или (
,
).
Таким образом, по определению
=
cos
,
(15)
где
– угол между векторами
и
.
Скалярное произведение обладает следующими свойствами:
1.
=
2.
3.
(+
)
=
+
4.
Если векторы
и
взаимно перпендикулярны, то их скалярное
произведение равно нулю (и наоборот),
т. е.
=0.
Условие
=0
поэтому и называют условием
перпендикулярности векторов.
5.
=
.
Отсюда получают правило для вычисления
длины вектора:
=
Если
известны координаты векторов
и
,
то легко показать, что скалярное
произведение равно сумме произведений
одноименных координат векторов, т. е.
если
=(х1,
у1,
z1)
и
=(х2,
у2,
z2),
то
=х1х2+у1у2+z1z2
Условие
перпендикулярности тогда примет вид:
x1x2+y1y2+z1z2=0
Пусть,
например, даны векторы
=
(2, –1, 2),
=
(1, 0, 4),
=
(3, 4, –1).
Найдем скалярные произведения
=
2
1 + (–1)
0 + 2
4 = 10,
=2
3 + (–1)
4 + 2
(–1) = 0,
=
1
3 + 0
4 + 4
(–1) = –1.
Мы
обнаружили, что векторы
и
образуют прямой угол.
Используя определение скалярного произведения, можно вычислить угол между векторами по формуле
.
(16)