1.5 Матричный способ решения системы линейных уравнений

Обратимся вновь к системе п линейных уравнений с п неизвестными.

Покажем, что эту систему можно записать в виде одного матричного уравнения. Для этого введем в рассмотрение матрицы:

.

Назовем А – матрицей системы, Х – столбцом неизвестных, В – столбцом свободных членов. Рассмотрим уравнение АХ=В.

Умножая первую строку матрицы А на столбец Х, получим первый элемент матрицы В, т.е.

.

А это и есть первое уравнение системы. Аналогично, получим и все остальные уравнения системы.

Итак, система может быть представлена одним уравнением

АХ=В, (7)

которое и является матричной формой системы.

Если матрица А системы невырожденная, то существует матрица А^-1, обратная для матрицы А. Умножим слева обе части уравнения (7) на А^-1. Получим А^-1АХ=А^-1В. Так как А^-1А=Е и ЕХ=Х, то имеем

Х=А^-1В . (8)

Формула (8) дает матричную запись решения системы.

Рассмотрим пример

№ 14. Решить систему матричным способом

Запишем систему в определенном порядке

,

т.е. матрица А – невырожденная. Найдем обратную матрицу А^-1.

- обратная матрица.

Решение системы найдем по формуле (8):

Решение системы: х=2; у= –5; z=3. Подстановкой в систему легко проверить правильность решения.

Таким образом, крамеровскую систему можно решить по формулам Крамера или матричным способом.

1.6 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Мы рассматривали системы п линейных уравнений с п неизвестными. Рассмотрим произвольные системы линейных уравнений, в которых число уравнений т и число неизвестных п могут быть разными. Для таких систем решение не обязано быть единственным, если оно вообще существует. Возможны только три случая:

1) система не имеет ни одного решения (несовместна),

2) система имеет единственное решение,

3) система имеет бесчисленное множество решений.

Одним из наиболее удобных методов решения систем линейных уравнений является метод последовательных исключений неизвестных, или метод Гаусса.

Решим систему методом последовательного исключения неизвестных:

Умножив первое уравнение на (-3), сложим со вторым, а умножив первое же уравнение на (-5), сложим с третьим. Получим систему, равносильную данной:

Умножив второе уравнение системы на (-1), сложим его с третьим:

Система

равносильна данной, но решается очень просто снизу вверх: из третьего уравнения получим z=0, из второго у= –, из первого .

Решение системы:

Сравним матрицы из коэффициентов при неизвестных систем.

.

Матрица системы приведена к «треугольному» виду – матрице системы, определитель которой отличен от нуля как треугольный определитель. Значит, система имеет единственное решение, которое, кстати, очень просто теперь найти. Понятно, что удобнее проводить преобразования не с самими уравнениями системы, а только с матрицей из коэффициентов при неизвестных.

Перечислим так называемые элементарные преобразования матрицы:

1) умножение всех элементов на одно и то же число;

2) перестановка двух строк;

3) вычеркивание одной из двух пропорциональных или одинаковых строк;

4) вычеркивание строки, состоящей из одних нулей;

5) прибавление ко всем элементам какой-либо строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число.

Матрица, полученная элементарными преобразованиями из данной матрицы, называется ей эквивалентный. Обозначается .

Запишем систему т линейных уравнений с п неизвестными:

Матрица А порядка т х п, составленная из коэффициентов при неизвестных, называется основной матрицей системы.

Матрица В порядка т х (п+1), составленная из коэффициентов при неизвестных и столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы. В ней столбец свободных членов принято отделять вертикальной чертой.

.

Для решения системы по методу Гаусса выписывают расширенную матрицу В системы и преобразовывают ее, чтобы получить в ней треугольник из нулей в нижнем левом ее углу.

Рассмотрим несколько примеров.

№ 15.

Выпишем расширенную матрицу В и при помощи первой ее строки получим нули в первом столбце.



Здесь мы вычли первую строку из каждой из последующих. Чтобы получить нули во втором столбце, используем вторую строку. Сложим ее с третьей; сложим ее и с четвертой, но предварительно умножим на 2.

В.

Полученная матрица свидетельствует о несовместности системы, т.к. последней ее строке соответствует уравнение 0х₁+0х₂+0х₃+0х₄=14, которое не может быть верным ни при каких х₁, х₂, х₃, х₄.

Итак, система несовместна (не имеет ни одного решения).

№ 16.



Мы переставили строки вторую и третью, чтобы иметь во втором столбце единицу и при помощи ее получить нули. В последней матрице две одинаковые строки, оставим одну из них. Окончательно имеем

.

Записав систему «снизу вверх», имеем

Система имеет единственное решение:

х₁= –1;    х₂=0;    х₃=1.

№ 17.

Преобразуем расширенную матрицу:



Мы переставили местами первую и третью строки. Получим нули в 1^м столбце.



Последняя матрица получена после вычеркивания третьей строки (она пропорциональна второй) и деления на общие множители второй и последней строк. Сложив в последней матрице две последние строки, получим:

.

Из последней матрицы видно, что система не может иметь единственного решения, но она совместна. Значит, система имеет бесчисленное множество решений. Найдем их.

Так как полученная матрица содержит три строки, выделим столбцы, которые могут составить треугольный определитель, отличный от нуля. Например, первый, второй и пятый столбцы:

Эти столбцы соответствуют неизвестным х₁, х₂, х₅. Назовем их основными неизвестными. Остальные неизвестные назовем свободными неизвестными – это х₃ и х₄. Запишем систему «снизу вверх» так, чтобы свободные неизвестные были перенесены в правую часть соответствующего уравнения:

Определитель этой системы отличен от нуля, поэтому система может быть решена относительно основных неизвестных х₁, х₂, х₅ по формулам Крамера или непосредственно. Сначала х₅= –4+6х₄. Затем из второго уравнения х₂=12–х₃–х₄, а из первого уравнения х₁=14–, где х₃ и х₄ – свободные неизвестные, которые могут принимать любые значения. Например, при х₃=х₄=0, получим х₁=14, х₂=12, х₅= – 4.

Решением будут числа

х₁=14, х₂=12, х₃=0, х₄=0, х₅= –4.

Обычно свободные неизвестные обозначают буквами с, ,  и т.д.

Для нашей системы запишем ответ:

где  и  - любые числа.

Решая эту систему, мы выбрали в качестве основных неизвестных х₁, х₂, х₅. Можно было выбрать х₁, х₂, х₄, так как столбцы, им соответствующие, тоже составят определитель

Суммируя изложенное, подведем некоторые итоги, касающиеся метода Гаусса.

Метод Гаусса можно применить к любой системе линейных уравнений. Преобразуя расширенную матрицу системы, можем получить строку, содержащую слева от вертикальной черты только нули, а справа – отличное от нуля число. В этом случае система несовместна. Если такой строки в расширенной матрице мы не получим, то система совместна.

А именно: если слева от вертикальной черты получим матрицу с треугольным определителем, отличным от нуля, то система имеет единственное решение, которое легко получить, записывая уравнения «снизу вверх». Если слева от вертикальной черты основная матрица системы содержит в каждой строке более одного отличного от нуля элемента, то система имеет бесчисленное множество решений. В этом случае из всех неизвестных выбирают основные неизвестные – те неизвестные, коэффициенты при которых составят треугольный определитель, отличный от нуля. Оставшиеся неизвестные называют свободными. Полученную систему (она теперь крамеровская) решают, выражая основные неизвестные через свободные. Свободные неизвестные могут принимать любые постоянные значения.