1.4.1 Основные действия над матрицами

1. Сложение матриц.

Суммой двух матриц А и В одного и того же порядка называется матрица С того же порядка, все элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В.

Обозначают А+В=С.

Если а_ij и - элементы матриц А и В соответственно, то элемент матрицы С .

2. Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы на число называется матрица, все элементы которой умножены на это число.

3. Транспонирование матрицы.

Если матрица А порядка т х п, то транспонированная матрица имеет порядок п х т и получается заменой строк столбцами. Обозначается А^т.

№ 11. Примеры.

Если , то сумма С=А+В – матрица, равная .

Произведение матрицы А на число k

Найдем разность матриц

Транспонированные для матриц А и В матрицы

А^т= и В^т=.

Заметим, что единичная матрица Е при транспонировании не меняется.

4. Умножение матрицы на матрицу.

Операция умножения матриц является исходным пунктом обширной теории – алгебры матриц, играющей важную роль в различных разделах математики и ее приложениях.

Пусть даны матрица А порядка т х р и матрица В порядка р х п. Обозначим

а_ik – элемент матрицы А, i=1,2,…,т; k=1,2,…,р;

- элемент матрицы В, k=1,2,…,р; j=1,2,…,п.

Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С порядка т х п, каждый элемент которой

, т.е. элемент с_ij, стоящий в строке с номером i и столбце с номером j, равен сумме попарных произведений соответствующих элементов i-ой строки матрицы А и j-го столбца матрицы В.

Из этого определения вытекает, что матрицу А можно умножать не на всякую матрицу В: необходимо, чтобы число столбцов матрицы А было равно числу строк матрицы В.

В качестве примера рассмотрим

.

Записана формула умножения матрицы порядка 3х2 на матрицу порядка 2х2. Очевидно, если возможно умножение АВ, то умножение ВА не всегда возможно. Если обе матрицы квадратные одного порядка, то возможны умножения в любом порядке, но и тогда, как правило,

Например, если , то , т.е. .

В случае, если одна из матриц – сомножителей является единичной, то АЕ=ЕА=А.

Заметим, что в этом случае А – квадратная матрица.

Пример.

№ 12. , .

Найти произведения АВ и ВА.

=

5. Обратная матрица

Действия над матрицами во многом аналогичны действиям над обычными числами. Среди чисел существует число 1 (единица) такое, что а1=1а=а для любого числа а.

Среди квадратных матриц роль такой «единицы» выполняет единичная матрица Е: АЕ=ЕА=А для любой квадратной матрицы А.

Для каждого числа а, отличного от нуля (а0), существует обратное число а^-1 такое, что аа^-1=а^-1а=1.

Оказывается, что аналогичное свойство справедливо и для матриц, причем роль условия а0 играет условие,

где через А мы обозначаем определитель матрицы А. Матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной, а матрица с определителем, равным нулю, называется вырожденной.

Матрица А^-1 называется обратной по отношению к матрице А, если.

Итак, для всякой невырожденной матрицы существует обратная.

Правило отыскания обратной матрицы.

Пусть дана невырожденная квадратная матрица А порядка п и а_ij – элемент ее (i,j=1,2,…,п).

По условию определитель матрицы А . Найдем для всех элементов а_ij матрицы их алгебраические дополнения А_ij. Составим матрицу, заменив каждый элемент а_ij алгебраическим дополнением А_ij. Естественно, это будет тоже квадратная матрица порядка п. Затем протранспонируем ее и умножим на число . Полученная матрица и будет обратной для матрицы А.

Итак, если

то обратная матрица

.

Для отыскания обратной матрицы необходимо:

1. Вычислить определитель данной матрицы (должно быть ).

2. Вычислить алгебраические дополнения А_ij для всех элементов а_ij матрицы А по формуле А_ij=(–1)^i+jМ_ij, где М_ij – минор элемента а_ij.

3. Составить матрицу из алгебраических дополнений А_ij.

4. Протранспонировать матрицу из алгебраических дополнений.

5. Полученную после транспонирования матрицу умножить на число .

Пример.

№ 13. Найти обратную для матрицы

1)

2)

3) Составим матрицу из алгебраических дополнений

4) и протранспонируем ее:

.

5) Умножив последнюю матрицу на число , получим обратную матрицу:

Убедимся в том, что обратная матрица найдена правильно:

Так как , то обратная матрица найдена верно.