29. Точечное оценивание.
Пусть
вид распределения изучаемого признака
Х известен
,
но неизвестно значение входящего
параметра
(тетта).
Статистической
оценкой
называется любая функция выборки
.
Точечной оценкой называется оценка, которая дается одним числом.
Для
того, чтобы статистическая оценка
давала хорошее приближение оцениваемому
параметру
,
она должна обладать определенными
свойствами.
Оценка
называется несмещенной,
если ее мат. ожидание равно оцениваемому
параметру
.
Это свойство означает отсутствие ошибки одного знака.
Примером несмещенной оценки является выборочное среднее для мат. ожидания.
Примером смещенной оценки является выборочная дисперсия для теоретической дисперсии.
Оценка
параметра
называется состоятельной,
если для любого
Состоятельность
оценки означает, что при большом объеме
выборки оценка приближается к истинному
значению параметра
(чем
больше n,
тем точнее оценка).
Оценки, обладающие свойством несмещенности и состоятельности, при ограниченном объеме выборки могут отличатся дисперсиями.
Чем
меньше дисперсия оценки, тем меньше
вероятность ошибки при вычислении
. Поэтому целесообразно, чтобы дисперсия
оценки была минимальной, т.е. чтобы
выполнялось условие
Оценка, обладающая таким свойством, называется эффективной.
30. Стандартная ошибка точечной оценки
Оценки
и
,
получ-ые по выборке, не совпадают с
истинными знач-ми параметров
и
генеральной
совокупности. Экспериментально проверить
это утверждение невозможно, поскольку
не известны истинные значения этих
параметров. Но если брать повторные
выборки из одной и той же генеральной
совокупности с параметрами
и
и
каждый раз вычислять их оценки
и
,
то окажется, что эти оценки для разных
выборок не совпадают, хотя все это из
одних и тех же генеральных
параметров.Отклонения оценок генеральных
параметров от истинных значений этих
параметров называются статистическими
ошибками, или ошибками репрезентативности.
Величины статистических ошибок оценивают
по среднему квадратическому
(стандартному) отклонению выборочных
характеристик. Здесь рассматривается
только стандартное отклонение выборочного
среднего арифметического.Если взять
очень много независимых выборок объема
n
из одной и той же генеральной совокупности
и определить для каждой из них среднее
арифметическое, то окажется, что
полученные средние арифметические
варьируют вокруг своего среднего
значения (равного
)
в
раз
меньше, чем отдельные варианты выборки.
Т.е. стандартное отклонение выборочного
среднего арифметического будет равно
где
—
стандартное отклонение генеральной
совокупности.
В качестве оценки стандартного отклонения выборочного среднего используется величина
(5.1)
называемая
стандартной ошибкой среднего
арифметического. В формуле (5.1) S
— выборочное
стандартное
отклонение
.
Величина
показывает,
какая ошибка в среднем допускается,
если использовать вместо генерального
среднего
его
выборочную оценку
.
Поэтому вычисленное среднее арифметическое
часто указывают в виде
чтобы
оценить точность оценки х. Из формулы
(5.1) видно, как зависит стандартная
ошибка
от
объема выборки n:
с увеличением объема выборки n
стандартная ошибка
уменьшается
пропорционально корню квадратному из
n.
Существует эмпирическое правило,
согласно которому в окончательном
результате положение последней значащей
цифры должно соответствовать положению
первой значащей цифры в величине
/3.
Чтобы избежать накопления ошибок,
связанных с округлением, промежуточные
результаты нужно вычислять с точностью
на один порядок больше, чем точность
окончательных результатов.
31.Доверительные интервалы.
Оценка неизвестного параметра, которая задается 2 числами (концами интервала) называется интервальной. пусть по выборки получена точечная оценка θ (с крышкой), неизвестного параметра θ. Это оценка тем точнее, чем меньше l θ - θ (с крышкой)l. Методы математической статистики не позволяют наверняка утверждать, что выполняется неравенство l θ - θ (с крышкой)l<δ, где δ>0. Можно лишь говорить о вероятности его выполнения: Р(l θ - θ (с крышкой)l)<δ=γ. Величина γ называется доверительной вероятностью или надежностью. В качестве γ берут число, близкое к единице: 0,98,0,99, 0,995. Оно выбирается исследователем самостоятельно. Раскрыв знак модуля , получим определение доверительного интервала: P(θ (с крышкой) < θ < θ (с крышкой) +γ). Доверительным называется интервал (θ (с крышкой) - δ;θ (с крышкой)+δ), который покрывает параметр θ с заданной надежностью γ. При этом δ называется точностью оценки. Замечание: неверно говорить, что θ попадет в интервал. Задача состоит в том, чтобы построить такой интервал, который бы заключал в себе неизвестный параметр θ. Для того, чтобы построить доверительный интервал, необходимо знать закон распределения оценки θ (с крышкой)= θ (с крышкой)(х1,х2,…,хn) как функция отборки (х1, х2, …,хn). Затем поступают следующим образом:1.вычисляют точечную оценку θ (с крышкой) 2)выбирают надежность γ 3)вычисляют точность оценки δ.