- •1.Случайные события. Действия над событиями.
- •2.Классическое определение вероятности и ее свойства.
- •3.Аксиоматическое определение вероятности.
- •4. Формулы комбинаторики. Гипергеометрическое распределение.
- •5. Условная вероятность. Независимость событий.
- •6. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •7. Схема независимых испытаний Бернулли.
- •8. Предельные теоремы в схеме Бернулли.
- •9. Функция распределения вероятностей и её свойства.
- •10. Плотность распределения вероятностей и её свойства.
- •11. Математическое ожидание и его свойства.
- •12. Дисперсия и ее свойства.
- •13. Коэффициент корреляции и ковариация.
- •14. Моменты
- •15. Основные дискретные распределения случайных величин.
- •16. Равномерное и показательное распределение.
- •17. Нормальное распределение.
- •18. Двумерная функция распределения и ее свойства.
- •19. Двумерная плотность вероятности и ее свойства.
- •20. Независимость случайных величин
- •21. Условный закон распределения.
- •22. Неравенство Чебышева. Сходимость случайных последовательностей.
- •23.Теорема Чебышева. Теорема Бернулли.
- •24. Центральная предельная теорема.
- •25. Выборочный метод.
- •26. Эмпирическая функция распределения.
- •27. Гистограмма и полигон.
- •28. Числовые характеристики выборки.
- •29. Точечное оценивание.
- •30. Стандартная ошибка точечной оценки
- •32. Распределение , Стьюдента и Фишера.
- •33. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном.
- •35 Проверка статистических гипотез.
- •36. Построение критической области.
- •37. Критерий согласия Пирсона.
- •38. Вычисление теоретических частот для нормального распределения.
- •40.Сравнение средних двух нормальных выборок.
- •41. Дисперсионный анализ.
- •42. Парная регрессия.
- •43. Парный коэффициент корреляции, его свойства.
- •44. Проверка гипотез о достоверности коэффициента корреляции.
18. Двумерная функция распределения и ее свойства.
Многомерная случайная величина Х=(Х1, Х2, ... Хn) – это совокупность случайных величин Хi , заданных на одном и том же пространстве элементарных событий
Закон распределения вероятностей многомерной случайной величины Х задается ее функцией распределения
которая является числовой функцией многих переменных и как вероятность принимает значения на отрезке [0,1].
Свойства двумерной функции распределения совпадают с многомерной.
1. 0, так как это вероятность.
2. F(x,y) –неубывающая функция.
3. F(x) непрерывна в каждой точке слева
4.
5.
6. Вероятность того, что случайная точка попадет в замкнутый прямоугольник.
7.
Двумерный дискретный закон распределения изображается в виде таблицы, где в первой строке строчки перечисляются возможные значения случайной величины , в первом столбце возможные значения
Y1 |
P11 |
P12 |
P1n |
|
Y2 |
P21 |
P22 |
P2n |
|
Yn |
Pm1 |
Pm2 |
Pmn |
При этом должно выполняться условие нормировки
Обозначим одномерные законы распределения
X1 |
Xn |
||
P |
P1 |
Pn |
y1 |
yn |
||
P |
q1 |
qn |
19. Двумерная плотность вероятности и ее свойства.
Случайный вектор называется непрерывным, если существует такая непрерывная неотрицательная функция p(x,y), что для любых x,yR выполняется соотношение
При этом p(x,y) – двухмерная плотность вероятности.
Свойства.
1. p(x,y)=
2. P
3.
4.
20. Независимость случайных величин
Случайные величины 1, 2 называются независимыми, если для любых действительных чисел x1,…,xnR случайные события (1<X1),…, (n<Xn) независимы.
Из определения независимых событий вероятность появления должна равняться произведению вероятностей
P(1<X1,…, n<Xn )=P(1<X1)…P(n<Xn)
Случайные события независимы, если многомерная функция распределения равна произведению функций распределения координат.
1. Дискретные случайные величины будут независимы, если . для всех ,
2. Непрерывные случайные величины. Они описываются плотностью вероятности, которая равнв производной n порядка по произв. хn
p(x,y)= Если случайные величины независимы, то .
21. Условный закон распределения.
Условным законом распределения случайной величины , входящий в систему ( называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что принимает значение у.
Пусть ( - непрерывный вектор с плотностью вероятности p(x,y).
Пусть B=(y<<∆y)Тогда условная функция распределения случайной величины при условии, что событие В произошло
Пользуясь формулой умножения имеем
P= (1)
Функция называется условной функцией распределения случайной величины при условии В.
Возьмем производную от (1), устремив при этом ∆y к 0.
(2)
Функция называется условной плотностью вероятности случайной величины при условии, что равен у.
Из (2) следует аналогичная теорема умножения
(3)
Из (3) можем получить непрерывный аналог формулы полной вероятности
Из (2) можно получить условную функцию распределения случайной величины при условии, что равен у.