32. Распределение , Стьюдента и Фишера.

Распределение . Пусть , …, независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Тогда случайная величина =+…+, называется распределенной по закону с n степенями свободы. Матожидание и дисперсия распределения равны: М=n, D=2n. При n ∞ распределение медленно стремиться к нормальному.

Распределение Стьюдента. Пусть и независимы и имеет стандартное нормальное распределение, а – распределение с К степенями свободы. Тогда случайная величина , называется распределенной по закону Стьюдента с К степенями свободы. При К ∞ распределение Стьюдента быстро стремиться к нормальному. Матожидание и дисперсия распределение Стьюдента равны: МТ=0, DT= .

Распределение Фишера: Пусть и независимы и имеют распределение с и числом степеней свободы соответственно. Тогда случайная величина равна: F= *. Называется распределенной по закону Фишера с и числом степеней свободы. Замечание: Табличные значения случайной величины Фишера всегда больше 1.

33. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном.

Пусть изучаемый признак Х имеет нормальное распределение. Построим по выборке доверительный интервал для оценки .

Несмещенной и состоятельной оценкой матожидания является выборочное среднее значение .

1. Значение параметра известно. Доверительный интервал будет иметь вид:

n – объем выборки. Точность оценки

=, где значение числа находится с помощью таблиц функции Лапласа из уравнения .

34. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном

Пусть изучаемый признак Х имеет нормальное распределение. Построим по выборке доверительный интервал для оценки .

Несмещенной и состоятельной оценкой матожидания является выборочное среднее значение .

Пусть неизвестно.

В этом случае доверительный интервал будет иметь аналогичный вид, только вместо нужно подставить его оценку:.

определяется на основании распределения Стьюдента из Ур-ния

2 S(x;n-1)d=x

Где S(x;n-1) плотность распр Ст с числом степеней свободы .

Так как при распределение Стьюдента быстро стремится к нормальному, то при больших объемах выборки () при нахождении можно пользоваться таблицей функции Лапласа.

Мин объем выборки кот обеспечивает задонную надежность и точность округл до ближайшего целого числа с избытком

35 Проверка статистических гипотез.

Статистической гипотезой называется гипотеза о неизвестном распределении или о параметрах неизвестного распределения.

Нулевой или основной называется выдвинутая гипотеза H₀.

Конкурирующей или альтернативной называется гипотеза H₁, которая противоречит нулевой.

Статистическим критерием называется случайная величина, которая служит для проверки гипотезы H₀.

При проверке статистических гипотез возможно возникновение ошибок. Ошибка i-го рода возникает, когда мы отвергаем правильную нулевую гипотезу. Вероятность совершить ошибку 1-го рода называется уровнем значимости и обозначается

Ошибка второго рода возникает, когда мы отвергаем правильную гипотезу H_1. Вероятность совершить ошибку второго рода обозначается .

Величину ошибки первого и второго рода исследователь выбирает самостоятельно.

Отметим, что невозможно одновременно уменьшать ошибки первого и второго рода, так как речь идет об одних и тех же гипотезах.

Значение статистического критерия при котором H₀ принимают называется областью принятия гипотезы.

Значения критерия при которых гипотезу отвергают называется критической областью.

Точка, которая отделяет эти области называется критической.

Правосторонней называется критическая область, определяемая неравенством

Левосторонней называется критическая область, определяемая неравенством

Двусторонней называется критическая область, определяемая неравенством

Проверка статистических гипотез осуществляется следующим образом.

1. по выборке вычисляется наблюдаемое значение критерия (К_набл)

2. если К_набл попало в критическую область нулевую гипотезу отвергают, а если в область принятия гипотезы H₀ принимают.