7. Схема независимых испытаний Бернулли.

Пусть производится последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможно только 2 исхода: событие А или появится или не появится.

Обозначим вероятность появления события , не появления , .

Под элементарным событием в схеме Бернулли понимается последовательность наступлений и не наступлений события А в n испытаниях. Обозначим А={1}, ={0}. Тогда элементарный исход можно представить в виде вектора, состоящего из нулей и единиц: (1,0,…, 1).

Найдем вероятность того, что в n испытаниях событие А появится ровно m раз. Найдем сначала вероятность того, что в 3-х испытаниях событие А появится 2 раза при условии, что вероятность наступления в одном испытании равна p. При этом возможны следующие элементарные исходы (1,1,0); (0,1,1); (1,0,1).

Вероятность каждого элементарного исхода одинакова и равна p²q. Таким образом, вероятность того, что в 3-х испытаниях событие наступит 2 р. : .

Для произвольных m и n вероятность одного элементарного исхода равна p^mq^n-m . Число таких элементарных исходов равно числу способов разместить m единиц по n местам, а это по определению есть число сочетаний из n элементов по m. Получим формулу Бернулли: .

Часто интересует вероятность появления события А не ровно m раз, а от m₁ до m₂ раз включительно:

.

8. Предельные теоремы в схеме Бернулли.

При больших n применение формулы Бернулли затруднительно из-за сложности вычисления факториалов и степеней. В этом случае используются приближенные формулы.

Рассмотрим 2 случая: 1) или . 2) p – конечно.

Теорема Пуассона: Если в схеме Бернулли , так, что - конечное число, то вероятность приближенно вычисляется по формуле Пуассона: .

Замечания: 1. – среднее число появления события А в n испытаниях. 2. Как правило, теорему Пуассона применяют, когда . 3. В конце книг по теории вероятностей имеются таблицы для подсчета вероятности по формуле (6.1) для различных и m.

Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа:

Если n, а p – конечное число из интервала (0,1), то для каждого C>0 и <C, где справедливо: , где называется плотностью нормального распределения.

Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа: Если n, a p – конечное число из интервала (0,1), то равномерно по всем a и b справедливо

, - функция Лапласа.

Замечания: 1. Ф-ция Лапласа нечетная: = -. 2. Ф-ция асимптотическая и при она быстро стремиться к 0,5. Это стремление настолько быстрое, что при можно считать равным 0,5. 3. Плотность нормального распределения - четная функция. 4. Функции , в конце книг по ТВ и МС заданы таблично.

9. Функция распределения вероятностей и её свойства.

Пусть - случайная величина и - произвольное действительное число. Вероятность того, что примет значение, меньшее чем х, называется функцией распределения вероятностей: .

Случайной наз. величина, значения которой зависят от случая и для которой определена функция распределения вероятностей. Дискретной наз.случайная величина, которая принимает конечное или счетное множество значений. Под счетным множеством понимается множество натуральных чисел (чисел употребляемых при счете).

Счетное множество значений можно пронумеровать:

Для полной вероятностной характеристики дискретной случайной величины необходимо знать ее закон распределения.Пусть – возможные значения случайной величины , - вероятности этих значений.

Множество пар , i =1,2,… называется законом распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Обычно закон распределения изображается в виде таблицы:

					…
P					…

Непрерывной называется случайная величина, значения которой заполняют сплошь некоторые промежутки.

Функция распределения вероятностей является неслучайной функцией, вычисленной на основании закона распределения случайной величины.

Свойства функции распределения:

1. , 0, т.к. это вероятность.

2. – неубывающая функция.

.Следствия:

2.1. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал есть приращение функции распределения на этом интервале:

2.2. Вероятность принять одно фиксированное значение для непрерывной случайной величины равна нулю.

, при

т.к. функция распределения непрерывной случайной величины непрерывна.

2.3. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в открытый или замкнутый промежуток одинакова:

Докажем последнее равенство

3. непрерывна слева в каждой точке (см. рис.7.1).

4.

5. .