3.Аксиоматическое определение вероятности.

В этом случае вероятность определяется как математический объект с определенными свойствами.

Аксиоматическое определение вероятности. Пусть задано пространство элементарных событий Е и каждому событию А с Е поставлено в соответствие единственное число Р (А) такое, что:

1) Р(А)0,

2) для каждой пары несовместных событий А, В с Е имеет место равенство: Р(А ﮞ В) = Р(А) + Р(В),

3) Р(Е) =1.

Тогда говорят, что на событиях в множестве Е задана вероятность, а число Р {А) называется вероятностью события А .

4. Формулы комбинаторики. Гипергеометрическое распределение.

При подсчёта чисел m и n в ТВ используют формулы комбинаторики.

Опр Перестановками называются комбинации одних и тех же элементов, которые отличаются только порядком их расположения. Число перестановок из n элементов вычисляется по формуле:

Опр. Размещениями называются комбинации, составленные из n элементов по m, которые различаются либо составом элементов, либо их расположением. Число размещений из n элементов по m вычисляется по формуле:.

Опр Сочетанием называется комбинации, из n элементов по m, которые различаются только составом элементов. Число сочетаний из n элементов по m вычисляется по формуле:

Свойства сочетаний:

1. т.к.по определению 0!=1.

2. 

3. 

Урновая схема.

Пусть в урне имеется N шаров, среди которых М белых, а остальные черные. Наудачу вытащили k шаров, найти вероятность того, что среди них l белых.

.

Эта формула называется гипергеометрическим распределением.

5. Условная вероятность. Независимость событий.

Опр. Условной вероятностью события А при условии, что событие В уже произошло, наз-ся отношение

. (1)

Аналогично, условной вероятностью события B при условии, что событие A уже произошло, называется

. (2)

Из формул (1) и (2) получим теорему умножения: (3)

Вероятность произведения двух произвольных событий равна произведению вероятности одного из событий на условную вероятность второго, при условии, что первое уже произошло.

Распространим теорему умножения на конечное число событий:

Опр. События А и В называются независимыми, если вероятность произведения равна произведению вероятности этих событий.. (4)

Из (3) и (4) получим: .

Следовательно, для независимых событий условная и безусловная вероятности совпадают .

Для конечного числа независимых событий вероятность произведения равна произведению вероятностей: .

6. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Пусть событие А может произойти только с одним из n несовместных событий H₁…H_n, образующих полную группу: Ø, , тогда .

Так как события и несовместны, то и () и () являются несовместными. Тогда по теореме сложения : .

Применяя теорему умножения к каждому слагаемому, получим формулу полной вероятности:.

События H₁, H₂,…, H_n часто называют гипотезами. Иногда интересует, как перераспределятся вероятности гипотез после того, как событие А уже произошло: . По теореме умножения:

, .

Подставляя в знаменатель формулу полной вероятности, получим формулу Байеса: .