38. Вычисление теоретических частот для нормального распределения.

Пусть имеется выборка объема n, и есть основание предположить, что она имеет нормальное распределение. Для вычисления теоретических частот необходимо выполнить действия, указанные ниже.

находим максимальное и минимальные значения значение выборки, размах варьирования.

Для определения количества интервалов группировки k воспользуемся формулой Стерджеса:.

Тогда ширину частичных интервалов находим из формулы .

Число k округляется в сторону наибольшего целого числа. Интервалы строятся таким образом, чтобы и входили внутрь интервалов. Для этого в качестве левой границы первого интервала можно взять , а в качестве правой границы последнего интервала . В качестве частоты вариационного ряда записывают число наблюдений, попавших в каждый промежуток.

2. Для того, чтобы получить оценки параметров и перейдем к дискретному ряду, взяв в качестве варианты Х ряда середины построенных интервалов . В итоге получим последовательность равноотстоящих вариант и соответствующих им частот:

	*	*	…	*
			…

Несмещенной оценкой матожидания является исправленное выборочное среднее , а дисперсии – исправленная выборочная дисперсия s².

, или .

3. Нормируем случайную величину Х, перейдя к величинам

и , .

Причем наименьшее значение будем считать равным , а наибольшее значение - , так как теоретическое нормальное распределение принимает значения на числовой оси.

4. Вычислим теоретические вероятности p_i попадания Х в интервалы :,

где , - функция Лапласа.

5. Рассчитаем теоретические частоты . Замечания 1 Т.к.норм распр принимает знач от до + то буде считать что 2 ф-ция Лапласа не четная и асимптотическая

39. Сравнение дисперсий двух нормальных выборок.

Рассмотрим несколько критериев однородности. Пусть имеется 2 выборки X и Y объемами n₁ и n₂ и пусть ставится задача сравнить их функции распределения.H₀:F₁(x)=F₂(x)

Такого рода задания часто называют выявлением отклика на воздействия. Например, Наиболее хорошо разработанными являются методы выявления однородности для нормально распределенных выборок. Если выборки распределены нормально, то выявление однородности сводится к сравнению параметров а иσ. Эти методы называются параметрическими. Если о распределении изучаемых выборок ничего нельзя сказать, то применяются непараметрические методы, где не учитываются исходные количественные данные, а только уравнение <,>.

Пусть выборки X и Y распределены нормально с параметрами а₁и σ₁ ; а₂ σ₂соответсвенно.X~N(а₁,σ ₁), Y~N(а₂,σ ₂).

Гипотеза H₀ будет справедлива, если будут равны параметры а₁= а₂; σ₁=σ₂

Сравним сначала дисперсии этих выборок H₀: σ²₁=σ²₂

Несмещенной и состоятельной оценкой дисперсии является исправленная выборочная дисперсия.

Следующая гипотеза H₀: S²₁=S²₂

Сравнение дисперсий всегда осуществляется путем вычисления их отношения. Можно показать, что при H₀ эта случайная величина имеет распределение Фишера с k₁ и k₂ числом степеней свободы.

F=~F(k₁,k₂) Причем k₁=n₁-1, k₂=n₂-1, S²_1>S²₂

Пусть H1: S²_1>S²₂, т.е. правосторонняя критическая область. F_k(K_кр)=1-α

Проверка H₀ осуществляется следующим образом:

Вычисляется наблюдаемое значение критерия,

Выбирается уровень значимости αи по таблице критических точек распределения Фишера находят F_кр(α,k₁,k₂)

Если F_набл> F_{кр ,} то H₀ отвергаем и принимаем конкурирующую.

2. Пусть H1: S²₁S²₂ -. двусторонняя критическая область.

В этом случае поступают аналогично, только F_кр(α/2,k₁,k₂)