- •1. Предмет теории вероятностей
- •Классическое определение вероятности
- •Геометрическое определение вероятности
- •Теорема сложения вероятностей и ее следствия
- •Условная вероятность
- •Теорема умножения вероятностей.
- •3. Формулы полной вероятности и формула Байеса
- •Определение
- •Свойства
- •Тождества
- •Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •Зависимые и независимые случайные величины
- •Свойства
- •Свойства коэффициента корреляции
- •11. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Свойства
- •Определение
- •Свойства распределения Пуассона
- •Равномерное распределение.
- •Центральная предельная теорема Ляпунова.
- •Исправленная выборочная дисперсия
- •Определение
Определение
Пусть дано вероятностное пространство , и на нём определена случайная величина X с распределением . Тогда функцией распределения случайной величины X называется функция , задаваемая формулой:
.
Свойства
-
FX непрерывна справа:[1]
-
FX не убывает на всей числовой прямой.
-
.
-
.
-
Распределение случайной величины однозначно определяет функцию распределения.
-
Верно и обратное: если функция F(x) удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что F(x) является её функцией распределения.
-
-
По определению непрерывности справа, функция FX имеет правый предел FX(x + ) в любой точке , и он совпадает со значением функции FX(x) в этой точке.
-
В силу неубывания, функция FX также имеет и левый предел FX(x − ) в любой точке , который может не совпадать со значением функции. Таким образом, функция FX либо непрерывна в точке, либо имеет в ней разрыв первого рода.
-
Тождества
Из свойств вероятности следует, что , таких что a < b:
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
.
Числовые характеристики дискретных случайных величин
\
Математическое ожидание M дискретной случайной величины - это среднее значение случайной величины, равное сумме произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности. |
0Свойства математического ожидания:
-
Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной .
-
Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания .
-
Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий .
-
Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых
Для описания многих практически важных свойств случайной величины необходимо знание не только ее математического ожидания, но и отклонения возможных ее значений от среднего значения.
Дисперсия случайной величины — мера разброса случайной величины, равная математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Принимая во внимание свойства математического ожидания, легко показать что |
Казалось бы естественным рассматривать не квадрат отклонения случайной величины от ее математического ожидания, а просто отклонение. Однако математическое ожидание этого отклонения равно нулю. Это объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, другие отрицательны, и в результате их взаимного погашения получается ноль. Можно было бы принять за меру рассеяния математическое ожидание модуля отклонения случайной величины от ее математического ожидания, но как правило, действия связанные с абсолютными величинами, приводят к громоздким вычислениям.
0Свойства дисперсии:
-
Дисперсия постоянной равна нулю.
-
Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат.
-
Если x и y независимые случайные величины , то дисперсия суммы этих величин равна сумме их дисперсий.
7. Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и вероятностями их появления.
Биномиальное распределение
Пусть проводится серия из n независимых испытаний, каждое из которых заканчивается либо “успехом” либо “неуспехом”. Пусть в каждом испытании (опыте) вероятность успеха p, а вероятность неуспеха q = 1- p. С таким испытанием можно связать случайную величину x , значение которой равно числу успехов в серии из n испытаний. Эта величина принимает значения от 0 до n. Ее распределение называется биномиальным и определяется формулой Бернулли
, 0 < p <1, k = 0, 1, …, n, , Mx = np, Dx = npq, .
Геометрическое распределение
Со схемой испытаний Бернулли можно связать еще одну случайную величину x - число испытаний до первого успеха. Эта величина принимает бесконечное множество значений от 0 до + и ее распределение определяется формулой
pk = P(x= k) = qk-1 p, 0 <p <1, k=1, 2, … , , , .
Гипергеометрическое распределение
В партии из N изделий имеется M (M < N) доброкачественных и N - M дефектных изделий. Если случайным образом из всей партии выбрать контрольную партию из n изделий, то число доброкачественных изделий в контрольной партии - случайная величина, которую обозначим x. Распределение такой случайной величины называется гипергеометрическим и имеет вид:
, k = 0, 1, …, min(n,M), ,
, .
8. одном и том же случайном эксперименте можно рассматривать не одну, а несколько - n - числовых функций, определенных на одном и том же пространстве элементарных событий. Совокупность таких функций называется многомерной случайной величиной или случайным вектором и обозначается .
Точнее. На вероятностном пространстве заданы случайные величины ; каждому w W эти величины ставят в соответствие n-мерный вектор , который называется n-мерным случайным вектором (n-мерной случайной величиной).
Многомерные случайные величины. Функции распределения многомерных случайных величин.
Функцией распределения случайного вектора или совместным распределением случайных величин называется функция, определенная равенством
,
где .
По известной многомерной функции можно найти распределение каждой из компонент .
Например, если - двумерная случайная величина, имеющая совместное распределение , то распределения компонент и вычисляются соответственно по формулам:
, .
В дальнейшем будем рассматривать двумерные случайные векторы.
Случайный вектор называется непрерывным случайным вектором, если существует такая неотрицательная функция , что для любого прямоугольника W на плоскости вероятность события равна
.
Функция в этом случае называется совместной плотностью распределения.
Легко показать, что .
Если - совместная плотность распределения двумерного случайного вектора , то плотности распределения его компонент определяются равенствами:
и .
Если - дискретный случайный вектор, то совместным распределением случайных величин и чаще всего называют таблицу вида
|
y1 |
y2 |
... |
ym |
x1 |
p11 |
p12 |
... |
p1m |
x2 |
p12 |
p12 |
... |
p2m |
... |
... |
... |
pij |
... |
xn |
pn1 |
pn2 |
... |
pnm |
где и .
По этой таблице можно найти распределения и компонент x и h . Они вычисляются по формулам:
.
Функция распределения случайной величины. Её свойства
Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.
Если .- случайная величина, то функция F(x) = F (x) = P( < x) называется функцией распределения случайной величины . Здесь P( < x) - вероятность того, что случайная величина принимает значение, меньшее x.
Важно понимать, что функция распределения является “паспортом” случайной величины: она содержит всю информация о случайной величине и поэтому изучение случайной величины заключается в исследовании ее функции распределения, которую часто называют просто распределением.
Функция распределения любой случайной величины обладает следующими свойствами:
-
F(x) определена на всей числовой прямой R;
-
F(x) не убывает, т.е. если x1x2, то F(x1) F(x2);
-
F(-)=0, F(+)=1, т.е. и ;
-
F(x) непрерывна справа, т.е.