25.*Обслуживание с ожиданием. Постановка задачи. Свойства экспоненциального распределения времени обслуживания. Обслуживание как Марковский процесс.

Обслуживание с ожиданием. В классической постановке задача формулируется следующим образом: в СМО типа М/М/m на m одинаковых ОА поступает простейший поток заявок c интенсивностью l. Если в момент поступления заявки имеется хотя бы один свободный ОА, она немедленно начинает обслуживаться, если нет – становится в очередь. Длительность обслуживания также распределена по экспоненциальному закону, т. е. представляет собой случайную величину с одним и тем же распределением вероятностей F(x)=1-e^-mt, где  – интенсивность обслуживания (величина, обратная МО времени обслуживания).

Свойства:

1. Стационарность

2. Ординарность

3. Отсутствия последствий

Обслуживание как марковский процесс. В каждый момент рассматриваемая система может находится в одном из следующих состояний: в момент времени t в системе находится k требований. Если km, то в системе находятся и обслуживаются k требований, а m-k приборов свободны. Если k>m, то m требований обслуживаются, а k-m находятся в очереди и ожидают обслуживания. Если Е_k – состояние, когда в системе находятся k требований, система может находится в состояниях E₀, E₁, E₂…Пусть в некоторый момент времени t₀ система находилась в состоянии E_i. Дальнейшее течение обслуживания полностью определяется тремя следующими факторами:

• Моментами окончания обслуживаний, производящихся в момент времени t₀

• Моментами поступления новых заявок

• Длительностью обслуживания требований, поступивших после t₀

В силу рассмотренных особенностей показательного распределения длительность остающейся части обслуживания не зависит от того, как долго уже продолжалось обслуживание до момента времени t₀. Поток заявок является простейшим, и длительность обслуживания заявок, поступивших после t₀, никак не зависит от того, что и как обслуживалось до момента t₀. Таким образом, последующее течение процесса обслуживания на зависит в вероятностном смысле от того, что происходило до момента времени t₀, а система с ожиданием в случае простейшего потока и показательного времени обслуживания представляет случайный процесс Маркова или процесс без последействия – случайный процесс, для которого будущее развитие зависит только от достигнутого в данный момент состояния и не зависит от того, как происходило развитие в прошлом.

26.Обслуживание с потерями. Обслуживание с ограниченным временем ожидания. Постановка задачи. Обслуживание как Марковский процесс.

Моделирование ВС с использованием теории МО. Теория массового обслуживания применяется для описания процессов обслуживания, которые могут быть представлены различными по своей физической природе процессами, например: материальные потоки поставок или заявки на обработку информации от удаленных терминалов. При этом характерным является случайное появление заявок (требований) на обслуживание и случайная длительность обслуживания каждой заявки. Поскольку события, происходящие в локальных вычислительных сетях, носят случайный характер, то для их изучения наиболее подходящими являются вероятностные математические модели теории массового обслуживания. Объектами исследования в теории массового обслуживания являются системы и сети массового обслуживания (СМО).

Обслуживание с потерями. Потери требований в системе массового обслуживания могут происходить при учете в модели системы следующих ограничений:

• ограничено время реакции системы (время ожидания, время пребывания и т.п.);

• ограничены очереди обслуживающих приборов или узлов;

• рассматривается тип приоритетного обслуживания с потерями.

Обслуживание с ограниченным временем пребывания. Постановка задачи. Обслуживание как Марковский процесс. Каждое требование, поступающее в систему обслуживания может находиться в системе не более чем время . Таким образом, могут представиться три следующие несовместимые возможности: время ожидания и период обслуживания заявки меньше, чем  (требование было обслужено полностью); время ожидания оказалось меньше, чем, но оставшегося до  времени не хватило, чтобы полностью завершить обслуживание. В результате требование было потеряно, не будучи полностью обслуженным. Наконец, третья возможность – время ожидания оказалось большим, чем , и произошла чистая потеря без затраты времени на обслуживание.

Если требования обслуживаются в порядке очередности их поступления, то чистых потерь быть не может. Мы предполагаем поток ординарным, и поэтому любые два требования поступают в систему раздельно. Пусть какие-нибудь два требования поступили в систему в моменты t₁, t₂, t₁< t₂. Если t₁- t₂>, то второе требование поступает в систему тогда, когда предыдущее ее уже покинуло. Если же t₁- t₂, то первое из требования покидает систему самое позднее в момент t₁+ поэтому второе требование обслуживается по меньшей мере с момента t₁+ (оно обязано покинуть систему в момент времени t₂+). Все три случая возможны, если обслуживание происходит не в порядке очередности, а в порядке случайного выбора из очереди.

Обслуживание как марковский процесс. В каждый момент рассматриваемая система может находится в одном из следующих состояний: в момент времени t в системе находится k требований. Если km, то в системе находятся и обслуживаются k требований, а m-k приборов свободны. Если k>m, то m требований обслуживаются, а k-m находятся в очереди и ожидают обслуживания. Если Е_k – состояние, когда в системе находятся k требований, система может находится в состояниях E₀, E₁, E₂…Пусть в некоторый момент времени t₀ система находилась в состоянии E_i. Дальнейшее течение обслуживания полностью определяется тремя следующими факторами:

• Моментами окончания обслуживаний, производящихся в момент времени t₀

• Моментами поступления новых заявок

• Длительностью обслуживания требований, поступивших после t₀

В силу рассмотренных особенностей показательного распределения длительность остающейся части обслуживания не зависит от того, как долго уже продолжалось обслуживание до момента времени t₀. Поток заявок является простейшим, и длительность обслуживания заявок, поступивших после t₀, никак не зависит от того, что и как обслуживалось до момента t₀. Таким образом, последующее течение процесса обслуживания на зависит в вероятностном смысле от того, что происходило до момента времени t₀, а система с ожиданием в случае простейшего потока и показательного времени обслуживания представляет случайный процесс Маркова или процесс без последействия – случайный процесс, для которого будущее развитие зависит только от достигнутого в данный момент состояния и не зависит от того, как происходило развитие в прошлом.