Вопрос 10

п.1. Угол между векторами. Угол между вектором и осью.

Определение. Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором.

                   

                                            рис.1.

Обозначение. . Из определения следует, что .

   Мы полагаем очевидным, что при параллельном переносе любого из двух векторов угол между ними остается неизменным, только в этом случае поворот одного из векторов осуществляется либо в общей для обоих векторов плоскости, либо в плоскости параллельной другому вектору.

   Введем понятие угла между вектором и осью.

Определение. Углом между вектором и осью называется угол между данным вектором и любым правоориентированным вектором этой оси.

                                      рис.2.

Обозначение. .

Вопрос 11

Условие коллинеарности и ортогональности векторов

В рассмотрении геометрических векторов вводится определение следующей операции.

Произведением вектора на число называется вектор, получающийся из вектора растяжением (при ) или сжатием (при ) в  раз, причём направление вектора сохраняется, если , и меняется на противоположное, если .

Из определения следует, что векторы и всегда расположены на одной или параллельных прямых. Такие векторы называются коллинеарными. Справедливо и обратное утверждение: если векторы и коллинеарны, то они связаны соотношением

                  (8)

Следовательно, равенство (8) выражает условие коллинеарности двух векторов.

В рассмотрении векторов, заданных в координатной форме, условие коллинеарности двух векторов (8) примет вид

или

Это векторное равенство справедливо лишь в том случае, если выполняются следующие три скалярных равенства:

или т.е необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является пропорциональность их соответствующих координат.

Два вектора называют ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Вопрос 12

1. Разложение вектора по ортонормированному базису

При представлении одномерной физической величины (например, массы) мы используем один параметр (например, килограмм).  К примеру, если принять, что 1 килограмм – единица измерения, то 10 килограммов больше 1 в 10 раз, следовательно, выражается как 10 единиц. Подобным образом через стандартные величины (единицы измерения) в векторном пространстве выражаются векторы. Для однозначного выражения N-мерного вектора необходимо N параметров. Эти параметры называют базисом, а выражение вектора через эти параметры – разложение вектора по базису.

 

Рассмотрим двумерное векторное пространство. Пара взаимно-перпендикулярных векторов {b₁, b₂} называется ортогональным базисом. Скалярное произведение <b₁, b₂> равно 0, так как угол между ними равен 90º. Если нормы этих векторов равны 1 (||b₁|| = || b₂|| = 1), то данные векторы называются единичными, а базис – ортонормированным.

Ортонормированный базис в двумерном пространстве – пара взаимно перпендикулярных единичных векторов, которые в совокупности с парой параметров однозначно выражают вектор в двумерном пространстве.

Вектор v может быть разложен по ортонормированному базису {b₁, b₂} следующим образом

v = C₁·b₁ + C₂·b₂ (1)

Коэффициенты C₁ и C₂ выражают величину вектора v в направлениях b₁ и b₂. Векторы C₁·b₁ и C₂·b₂ называются проекциями вектора v.

Рисунок 1

Выведем коэффициенты C₁ и C₂. Найдем скалярное произведение левой и правой частей равенства (1) и вектора b₁.

<v, b₁> = <C₁·b₁ + C₂·b₂, b₁> = <C₁·b₁, b₁> + <C₂·b₂, b₁> = C₁<b₁, b₁> + C₂<b₂, b₁>

Так как {b₁, b₂} – ортонормированный базис, скалярное произведение <b₁, b₁> равно 1 (квадрат нормы вектора b₁), а скалярное произведение <b₂, b₁> равно 0 (так как векторы b₂, b₁ перпендикулярны). Таким образом

C₁ = <v, b₁> (2)

Аналогичным образом найдем скалярное произведение левой и правой частей равенства (1) и вектора b₂.

<v, b₂> = < C₁·b₁ + C₂·b₂, b₂ > = <C₁·b₁, b₂> + <C₂·b₂, b₂> = C₁<b₁, b₂> + C₂<b₂, b₂>

Согласно свойствам ортонормированного базиса <b₁, b₂> = 0, <b₂, b₂> = ||b₁||² = 1, следовательно

C₂ = <v, b₂> (3)