«Методы логического вывода и управления знаниями»

Виды логического вывода.

Существуют три основных вида логического вывода:

• дедукция — аналитический процесс, основанный на применении общих правил к частным случаям, с выводом результата.

• индукция — синтетические рассуждения, которые выводят правило, исходя из предпосылок и результата;

• абдукция — другая форма синтетического вывода, однако, приводящая предпосылки из правила и результата.

Дедукцией называется логический вывод, заключающийся в выведении цели из посылок. Индукцией называется логический вывод, при котором предполагается, что между двумя отдельными фактами — второстепенной посылкой и выводом шествует главная посылка. Поскольку правило представляет со­бой аксиому или общий принцип, индукция — это вывод сущест­вования общего принципа между двумя отдельными фактами. Обычно неясно, верен ли общий принцип, полученный с помощью индукции. Для подтверждения его правильности оказываются не­обходимыми проверки под самыми разными углами зрения.

Продолжая рассмотрение силлогизма, можно так определить абдукцию: абдукцией называется логический вывод, при котором предполагается, что между известными — главной посылкой и выводом — существует второстепенная посылка. Абдук­ция — это вывод второстепенной посылки на основании главной посылки и цели.

Рассмотрим абдукцию более подробно. Абдукция — широко используемый в повседневных рассуждениях процесс вывода. Она заключается в нахождении объяснений для наблюдаемых фактов. Абдукция является одной из форм немонотонного вывода, по­скольку найденные объяснения могут быть отменены в процессе вывода. На самом деле, объяснения, которые согласуются с одним состоянием базы знаний, могут не согласоваться с ней после до­бавления нового знания. Существование различных объяснений одного и того же эффекта является основной чертой абдуктивного вывода, и выбор наиболее «предпочтительных» из них является важной задачей.

Перспективными областями применения абдукции являются:

• Диагностика. Например, в области медицинских диагнозов кандидатами в абдуктивные объяснения являются возможные забо­левания, а наблюдениями являются симптомы заболеваний. В диаг­ностике отказов множество клозов описывает нормальное поведе­ние системы, и задача заключается в том, чтобы найти множество объяснений вида «некоторый компонент А не в порядке», которое объясняет, почему система не функционирует нормально.

• Распознавания графических объектов. В этом случае объясне­ниями являются объекты распознавания, а наблюдениями — опи­сание изображения в поле зрения.

• Обработка естественных языков. Абдукцию можно применять в обработке естественных языков для интерпретации неоднознач­ных предложений. Здесь абдуктивными объяснениями являются различные варианты понимания таких предложений.

• Планирование. В задачах планирования планируемые действия можно трактовать как объяснения целевого состояния, которое должно быть достигнуто.

• Приобретение знаний. Приобретение знаний может происхо­дить как добавление к базе знаний не самих данных, поступающих в систему, а их абдуктивных объяснений.

Формальные системы и методы пополнения знаний на основе логи­ческого вывода. В основе любой системы логического вывода лежит формальная система (ФС). Под ФС понимается совокупность чис­то абстрактных методов, в которых представлены правила опериро­вания множеством символов в чисто синтаксической трактовке без учета смыслового содержания .

В ФС, оперирующей теми или иными символами, эти символы воспринимаются как элементы, с которыми обращаются согласно определенным правилам. Понятие истинности в этом случае появ­ляется лишь в связи с возможными интерпретациями системы. Формальная система считается заданной, если выполняются сле­дующие условия:

• задано некоторое множество элементов-термов и конечное множество элементов-связок или операций;

• заданы правила конструирования формул;

• выделено некоторое множество формул, называемых аксио­мами;

• имеется множество отношений между формулами, т.е. прави­ла вывода.

Наибольшее распространение в системах логического вывода получили два класса ФС: исчисление высказываний и исчисление предикатов первого порядка. В исчислениях высказываний и пре­дикатов существует множество правил вывода. Они могут приме­няться либо для установления истинности утверждений в целом, либо для порождения заключений.

Рассмотрим возможности представления знаний в логике вы­сказываний.

Пропозициональный словарь логики высказываний традицион­но составляется из бесконечного (счетного) множества высказыва­ний, обозначаемых строчными буквами (иногда с индексами), и пяти связок: отрицания , конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквивалентности. Словарь дает воз­можность строить сложные или составные высказывания из исход­ных (простых, элементарных), соединяя последние связками. Правила построения описывают те выражения, которые являются объ­ектами языка. Такие высказывания называют формулами. Интер­претировать формулу — значит приписать ей одно из двух значе­ний истинности: истина И (I) или ложь Л (0). Семантика произ­вольной формулы исчисления высказываний полностью определя­ется ее таблицей истинности. Формула семантически выполнима или просто выполнима, если она допускает некоторую модель, т.е. ее можно интерпретировать со значением И. Формула общезначи­ма, если она истинна независимо от истинностных значений, при­писанных составляющим ее высказываниям. Общезначимые фор­мулы исчисления высказываний часто называют тавтологиями.

Любая формула может быть преобразована в эквивалентную ей, имеющую вид «нормальной», или «канонической» формы. В этом отношении особый интерес представляют понятия «дизъ­юнкт» и «конъюктивная нормальная форма». Дизъюнктом называ­ется дизъюнкция конечного числа литералов. Дизъюнкт общезна­чим тогда и только тогда, когда он содержит пару противополож­ных литералов.

Единственным невыполнимым дизъюнктом является пустой дизъюнкт, обозначаемый Л или 0. Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) называется конъюнкция конечного числа дизъ­юнктов КНФ, которая содержит только пустой дизъюнкт и эквива­лентна Л.

К настоящему времени в области искусственного интеллекта известно большое количество методов логического вывода. Все отличаются друг от друга заложенными в них формами представления правил, законами логики, принципами и направленностью вывода, стратегиями и тактиками управления выводом.

Законы логики и принципы.

Фундаментальная проблема любой аксиоматической системы, называемая проблемой дедукции, фор­мулируется так: определить, является ли формула А логическим следствием множества формул Bi, B₂, ..., Bj.

Во многих методах дедукции в качестве правил вывода исполь­зуются законы логики. В частности, широкое распространение по­лучили следующие два закона.

Modus ponendo ponens:

B->C,B

Modus tollendo tollens:

Из большого числа различных принципов логического вывода рассмотрим наиболее известные.

Тривиальный алгоритм требует просмотра некоторого полного семантического дерева, соответствующего конечному множеству высказываний, встречающихся в А. Этот алгоритм крайне неэф­фективен: если формула А содержит n различных высказываний, то нужно рассматривать интерпретаций.

Алгоритм Куайна и алгоритм редукции — довольно незначи­тельное усовершенствование тривиального алгоритма. Дэвис и Патнем доказали, что алгоритм Куайна для проверки выполнимо­сти и общезначимости формулы упрощается в применении к конъ­юнктивной нормальной форме. Проблема общезначимости стано­вится тривиальной: речь идет о проверке тавтологичности каждого дизъюнкта.

Важные и интересные результаты в этом направлении были по­лучены Эрбраном. Его подход основан на том, что множество дизъюнктов S невыполнимо тогда и только тогда, когда оно прини­мает значение Л во всех интерпретациях на любых областях. Одна­ко в силу невозможности рассмотрения всех интерпретаций, необ­ходимо найти такую специальную область интерпретации, устано­вив на которой факт невыполнимости множества дизъюнктов, можно было бы сделать вывод о невыполнимости его на других об­ластях. Такая область получила название универсума Эрбрана.

Несколько иной подход предложил Робинсон, разработав достаточно удобный метод для выявления невыполнимости множе­ства дизъюнктов, представленных в виде К.НФ. Действительно, по определению множество дизъюнктов невыполнимо тогда и только тогда, когда пустой дизъюнкт Л является логическим следствием из него. Таким образом, невыполнимость множества S можно прове­рить, порождая логические следствия из S до тех пор, пока не по­лучим пустой дизъюнкт.

Именно на основе принципа резолюций построен один из наи­более распространенных языков логического программирова­ния — Пролог.

Направленность и тактика.

В зависимости от направления воз­можны три вида вывода.

Это, во-первых, правосторонний или обратный вывод, когда вывод ведется от заключения к исходным посылкам. Иногда для указания использования обратного вывода пользуются термином «модель трансформации целей».

Во-вторых, левосторонний вывод, когда вывод осуществляется от исходных посылок к заключению, — так называемый прямой вывод («модель трансформации знаний»).

И, наконец, двунаправленный вывод, т. е. доказательство ведется параллельно как от исходных посылок, так и от заключения.

Независимо от направления вывода можно выделить две такти­ки управления ходом вывода. Дерево состояний, начинающееся от заданной цели или начального состояния, может быть просмотрено сначала «вглубь» или сначала «вширь».

При поиске «вглубь» дерево просматривается от заданного со­стояния на всю глубину до исчерпания последовательности «пре­емственных» состояний на этом пути, т. е. движение осуществляет­ся вдоль самой левой ветви до тех пор, пока не будет найдено ре­шение или достигнут конец ветви. В последнем случае необходимо «отступить» в предыдущую точку ветвления (так называемая про­цедура back tracking) и просмотреть все остальные ветви. Недостат­ком просмотра сначала «вглубь» является необходимость сохране­ния информации о всех пройденных вершинах, так как постоянно существует вероятность возврата в любую из них.

При поиске сначала «вширь» происходит порождение всех воз­можных на данном уровне альтернатив, а затем альтернатив на сле­дующем уровне и т. д. При этом порождение альтернатив текущего уровня может выполняться параллельно, что важно для методов параллельного логического вывода.

Стратегии.

В настоящее время существует множество различных стратегий, направленных на повышение эффективности процедур поиска нужных дизъюнктов.

Эти стратегии можно поделить на синтаксические, семантические и эвристические. Необходимо от­метить, что на практике часто встречается комбинация различных видов стратегий вывода. Наиболее известны следующие стратегии.

Так называемый «чистый Пролог» использует стратегию ли­нейного вывода. При такой стратегии i-e предложение вывода име­ет в качестве одного из своих «родителей (i —1)-е предложение вывода, что сильно сужает число рассматриваемых дизъюнктов и приводит к довольно обозримым (по сравнению с интуитивным выбором) доказательствам.

Другая эффективная стратегия была предложена Дж. Слейглом и получила название семантической резолюции. При использова­нии семантической резолюции число излишних дизъюнктов уменьшается за счет интерпретации и упорядочения предикатных букв. Исходное множество делят на два подмножества и запрещают образование контрарных пар (L и Г) внутри одного подмножества. Для разбиения на подмножества используется интерпретация, ко­гда в первое подмножество включаются дизъюнкты, которые при данной интерпретации принимают значение И, а во второе — дизъ­юнкты, принимающие значение Л. Также способствует ограниче­нию количества генерируемых резольвент упорядочение литералов (например, по алфавиту). Тогда в качестве родительских будут вы­бираться дизъюнкты, у которых контрарные литералы являются наибольшими (крайними слева).

Иногда множество предложений удается упростить, исключив из него некоторые предложения (или литералы из предложений). С помощью такой стратегии упрощения можно снизить скорость роста числа новых предложений.

Под исключением тавтологий понимается: любые предложения, содержащие литерал и его отрицание, можно отбросить, так как любое невыполнимое множество, содержащее тавтологию, остается невыполнимым и после исключения последней.

Исключение подслучаев предполагает следующее: если дизъюнкт (Li) является подслучаем дизъюнкта {М}, то предложение {LJ} можно исключить, не нарушая свойства невыполнимости оставшегося множества.

Присоединение процедур понятно из следующего рассуждения. Иногда можно оценить значение истинности некоторых литералов. Такое означивание легко провести для константных частных случаев. Если какой-либо литерал предложения получает значение истинности, то все содержащие его предложения можно отбросить. Если же какой-либо литерал при означивании получает «ложь», то из всех предложений можно исключить данное: вхождение литерала.

Гиперрезолюция предполагает, что можно сделать так, чтобы в резолюции участвовало сразу несколько предложений, т. е. вызывается гиперрезолюция.

Существуют и другие стратегии выбора и упрощения дизъюнкции.