Разделение жидких систем.

2. Материальный баланс процесса разделения.

Пусть разделению подлежит система, состоящая из вещества а (сплош­ной фазы) и взвешенных частиц вещества b (дисперсной фазы). Введем обозначения:

, - масса исходной смеси, осветленной жидкости и получаемого осадка, кг;

, - содержание вещества b в исходной смеси, осветленной жидкости и осадке, массовые доли.

При отсутствии потерь вещества в процессе разделения уравнения материального баланса имеют вид:

по общему количеству веществ

(6)

по дисперсной фазе (веществу b):

= (7)

Совместное решение уравнений (6) и (7) позволяет определить массу осветленной жидкости и массу осадка , получаемых при заданном содержании вещества b в осадке и осветленной жидкости:

(8)

(9)

Содержание взвешенных частиц в осветленной жидкости и в осадке выбирается в зависимости от конкретных технологических условий про­цесса разделения. При этом содержание вещества в осветленной жидкости обычно ограничивается некоторым нижним пределом.

Лекция № 19. Осаждение под действием силы тяжести.

Сопротивление движению тел в жидкостях. Проведение ряда процессов химической технологии связано с движением твердых тел в капельных жидкостях или газах. К таким процессам относятся, например, осажде­ние твердых частиц из суспензий и пылей под действием сил тяжести и инерционных (например, центробежных) сил, механическое перемешивание в жидких средах и др. Как отмечалось, изучение закономерностей этих процессов составляет внешнюю задачу гидродинамики.

При движении тела в жидкости (или при обтекании неподвижного тела движущейся жидкостью) возникают сопротивления, для преодоления которых и обеспечения равномерного движения тела должна быть затра­чена определенная энергия. Возникающее сопротивление зависит главным образом от режима движения и формы обтекаемого тела.

При ламинарном движении, наблюдающемся при небольших скоростях и малых размерах тел или при высокой вязкости среды, тело окружено пограничным слоем жидкости и плавно обтекается потоком (рис.1а). Потеря энергии в таких условиях связана в основном лишь с преодоле­нием сопротивления трения.

С развитием турбулентности потока (например, с увеличением скорости движения тела) все большую роль начинают играть силы инерции. Под действием этих сил пограничный слой отрывается от поверхности тела, что приводит к понижению давления за движущимся телом в непосредственной близости от него и к образованию беспорядочных местных зави­хрений в данном пространстве (рис. 1 б). При этом разность давлений жидкости на переднюю (лобовую) поверхность тела, встречающую обтекающий поток, и на его заднюю (кормовую) поверхность все больше превы­шает разность давлений, возникающую при ламинарном обтекании тела.

Рис. 1 Движение твердого тела в жидкости:

а – ламинарный поток; б – турбулентный поток

Начиная с некоторых значений критерия Рейнольдса, роль лобового сопротивления становится преобладающей, а сопротивлением трения можно практически пренебречь. В данном случае, как и при движении жидкости по трубам, наступает автомодельный (по отношению к критерию Рей­нольдса) режим.

Сила сопротивления R(н) среды движущемуся в ней телу может быть выражена уравнением закона сопротивления:

(1.20)

где S – площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярную направлению его движения, м²; - скорость, м/сек; - плотность среды, кг/м³; - коэффициент сопротивления среды.

Отношение R/S представляет собой перепад давлений р (Н/м²), преодолеваемый движущимся телом. Поэтому, решив уравнение (1.20) относительно , можно установить, что коэффициент сопротивления ,пропорционален критерию Эйлера ( отличается от Eu лишь множителем 2). Соответственно уравнения для расчета при различных гидродинамических режимах могут быть получены обработкой опытных данных в виде обобщенных зависимостей между критериями гидродинамического подобия.

На рис. 3 представлена зависимость от критерия Рейнольдса при движении шарообразных частиц диаметром d. Этот диаметр и является определяющим размером в критерии Re. Из графика видно, что сущест­вуют три различных режима движения, каждому из которых соответствует определенный характер зависимости от Re:

ламинарный режим (область действия закона Стокса) при­близительно при Re < 2

(1.21)

переходный режим при Re = 2—500

(1.21a)

автомодельный режим (область действия квадратичного закона сопротивления Ньютона) при 2 • 10⁵ > Re > 500

(1.21б)

Подстановка в уравнение (1.20) каждого из приведенных выше уравнений для показывает, что при ламинарном режиме сила сопротивления пропорциональна скорости в первой степени, т. е. R, при переход­ном режиме R^1,4, а при автомодельном режиме R².

При движении тел, отличающихся по форме от шара, значения коэффициента сопротивления больше и зависят не только от критерия Re, но и от фактора формы Ф, т. е.

(1.22)

Здесь

(1.23)

где F_ш — поверхность шара, имеющего тот же объем, что и рассматривае­мое тело поверхностью F. Например, для куба Ф = 0,806; для цилиндра высотой, в 10 раз превышающей его радиус, Ф = 0,69; для диска, высота которого в 10 раз меньше радиуса, Ф = 0,32. Значения Ф приводятся в справочниках.

Надо заметить, что на самом деле роль фактора формы не всегда может быть сведена лишь к соотношению поверхностей. Поэтому наиболее надежные данные о численных зна­чениях Ф для тел различной формы получаются экспериментально.

Для тел нешарообразной формы определяющим линейным размером в критерии Re служит диаметр эквивалентного шара d, равный диаметру шара, имеющего такой же объем, что и данное тело. Если объем тела V, его масса т, а плотность р_т, то значение d, может быть най­дено из соотношения

Скорость осаждения частиц под действием сил тяжести. Рассмотрим движение тела в жидкости на примере осаждения твердой частицы в неподвижной среде под действием силы тяжести.

Если частица массой m (и весом mg) начинает падать под действием силы собственного веса, то скорость ее движения первоначально возра­стает со временем. При полном отсутствии сопротивления среды ско­рость менялась бы во времени по известному закону = g. Однако с увеличением скорости будет расти, согласно уравнению (1.20), сопро­тивление движению частицы и соответственно уменьшаться ее ускорение. В результате через короткий промежуток времени наступит равновесие: сила тяжести, под действием которой частица движется, станет равна силе сопротивления среды. Начиная с этого момента, ускорение движения будет равно нулю и частица станет двигаться равномерно — с постоянной скоростью. Скорость такого равномерного движения частицы в среде назы­вают скоростью осаждения и обозначают символом .

Сила, движущая шарообразную частицу диаметром d, выражается раз­ностью между ее весом и выталкивающей архимедовой силой, равной весу жидкости (среды) в объеме частицы:

где р_т — плотность твердой частицы; р — плотность среды.

Сила сопротивления среды, в соответствии с уравнением (1.20)

Скорость осаждения можно найти из условия равенства силы, дви­жущей частицу, и силы сопротивления среды:

откуда

(1.24)

Значение коэффициента сопротивления , может быть определено по одной из зависимостей — (1.21), (1.21a) или (1.21б). При подстановке в уравнение (1.24) выражения (1.21) для ламинарной области находим формулу

где ц — вязкость среды.

(1.25)

где - вязкость среды.

Это же уравнение можно получить и при использовании выражения закона Стокса, согласно которому сопротивление среды при осаждении в ней мелких частиц выражается зависимостью

(1.26)

Приравниваем действующую силу силе сопротивления среды

и, определив из этого выражения , получаем уравнение (1.25).

Максимальный размер частиц, осаждение которых происходит по закону Стокса, можно найти, подставив в уравнение (1.25) вместо скорости осаждения ее выражение через критерий Рейнольдса = и приняв Re = 2, т, е, — предельному значению Re для ламинарной об­ласти. Тогда

(1.27)

Существует и минимальный размер частиц, ниже которого наблюдаются отклонения от закона Стокса. Нижний предел применимости закона Стокса соответствует Re. При Reна скорость осаждения очень мелких частиц начинает влиять тепловое движение молекул среды. В таких условиях размеры d частиц становятся соизмеримыми со средней длиной свободного пробега молекул среды. При этом скорость осаждения оказывается ниже рассчитанной по уравнению (1.25). Поэтому вели­чину , определенную по уравнению (1.25), следует разделить на поправочный коэффициент

(1.28)

причем величина А меняется в пределах от 1,4 до 20 (для воздуха А=1,5).

Расчеты показывают, что при осаждении в воздухе частиц пыли размером d > 3 мкм коэффициент k1. При d 0,1 мкм пыль не осаж­дается, а наблюдается лишь хаотическое броуновское движение ее частиц.

В случае переходной области 2 < Re < 500 после подстановки в уравнение (1.24) выражения (1.21a) для и некоторых преобразова­ний получим

(1.25а)

Аналогично для автомодельной области (при Re > 500), согласно выражению (1.21б), подставив = 0,44 в уравнение (1.24), находим

(1.25б)

Для того чтобы выбрать расчетное уравнение, соответствующее данной области осаждения, т. е. одно из уравнений (1.25), (1.25а) или (1.25б), необходимо предварительно знать значение критерия Re, в который вхо­дит искомая скорость осаждения . Поэтому расчет по приведенным выше уравнениям возможен только методом последовательных прибли­жений. Допуская, что осаждение происходит в определенной области, например ламинарной, рассчитывают по соответствующему уравнению и по этому значению вычисляют Re. Затем проверяют, лежит ли най­денное значение Re в пределах, отвечающих принятой области осаждения. В случае несовпадения расчет повторяют до получения сходимых резуль­татов.

Вследствие трудоемкости метода последовательных приближений более удобно для определения пользоваться другим методом, предложен­ным П. В. Лященко. Этот метод основан на преобразовании уравнения (1.24) путем подстановки в него скорости осаждения, выраженной через Re, и возведения обеих частей уравнения в квадрат:

Отсюда

Выражение в правой части этого уравнения принципиально не отличается от выражения для критерия Аr:

(1.29)

В данном случае за определяющий линейный размер принят диаметр частицы, а за масштаб разности плотностей частицы и среды — плотность среды, в которой происходит осаждение.

В критерий Архимеда искомая скорость осаждения не входит. Он состоит из величин, которые обычно либо заданы, либо могут быть зара­нее определены.

Таким образом

(1.30)

Подставив в это обобщенное уравнение критические (граничные) значения критерия Re, отвечающие переходу одной области осаждения в дру­гую, можно найти соответствующие критические значения критерия Аr.

Для области действия закона Стокса (Re 2) при подстановке выражения , согласно зависимости (1.21), в уравнение (1.30) получим

откуда

(1.30a)

Верхнее предельное, или критическое, значение критерия Архимеда для этой области

Следовательно, существование ламинарного режима осаждения соот­ветствует условию Аr 36.

Для переходной области, где 2 < Re < 500, подставляем значение , согласно зависимости (1.21a), в уравнение (1.30). Тогда

или

(1.30б)

При подстановке в уравнение (1.30б) критического значения Re = 500 находят верхнее предельное значение Аr для переходной области

откуда

Таким образом, переходная область осаждения соответствует изменению критерия Аr в пределах 36 < Аr < 83 000.

Для автомодельной области, где Аr > 83 000, зависимость между Re и Аr можно найти, подставив = 0,44, в соответствии с выражением (1.21 б), в уравнение (1.30):

(1.30в)

Таким образом, рассчитав критерий Аr, определяют по его значению область, в которой происходит осаждение. Вычисляют, пользуясь одним из уравнений (1.30 а), (1.30 б) или (1.30 в), отвечающим этой области, значение Re и находят по нему скорость осаждения

(1.31)

Зная область осаждения, можно также рассчитать скорость осаждения по одному из уравнений (1.25), (1.25 а) или (1.25 б).

Для расчетов может быть использована и единая интерполяционная зависимость, связывающая критерии Re и Ar для всех режимов осаждения:

(1.32)

При малых значениях Аr вторым слагаемым в знаменателе можно пренебречь, и уравнение (1.32) превращается в уравнение (1.30 а), соответствующее области действия закона Стокса; при больших же значениях Аr пренебречь можно уже первым слагаемым в знаменателе, и уравнение (1.32) превращается в уравнение (1.30 в), отвечающее автомодельной области.

Скорость осаждения частиц нешарообразной формы меньше, чем скорость осаждения шарообразных частиц. Чтобы ее рассчитать, значе­ние скорости осаждения для шарообразных частиц необходимо умно­жить на поправочный коэффициент, называемый коэффициен­том формы.

(1.33)

Коэффициент < 1, и его значения определяют опытным путем. Так, для частиц округлой формы 0,77, для угловатых частиц 0,66, для продолговатых частиц 0,58 и для пластинчатых частиц 0,43.

Кроме того, при расчете скорости осаждения частиц нешарообразной формы в соответствующие уравнения для определения скорости следует подставлять указанный выше диаметр эквивалентного шара.

Приведенный расчет и относится к скорости свободного осаждения, при котором осаждающиеся частицы практически не оказывают влияния на движение друг друга. При значительной концен­трации твердых частиц в среде происходит стесненное осаждение, скорость которого меньше, чем свободного, вследствие трения и соударений между частицами.

В случае движения жидких капель в газе или в другой жидкости и пузырьков газа в жидкости уравнения для расчета усложняются даже для одиночных капель и пузырей вследствие изменения при движении их формы.