39. Распространенные задачи оптимального управления. Основные проблемы теории управляемых процессов.

Пусть управляемый объект описывается следующим векторным уравнением движения:

(11.1.1)

,

(11.1.2)

Выбирая различные функционалы, будем получать различные задачи оптимального управления.

I. Задача терминального управления или задача Майера

а) Задача терминального управления с закрепленными концами фазовых траекторий.

Зададим граничные условия.

.

В момент потребуем, чтобы

, . (11.1.3)

. (11.1.4)

Задача состоит в том, чтобы перевести систему (11.1.1.) из начального состояния с помощью допустимых управлений (11.1.4) на многообразие фазового пространства Х и минимизировать при этом функционал (11.1.4).

б) Задача терминального управления с подвижным правым концом фазовой траектории.

, .

.

Функционал J минимизируется также на множестве Г.

с) Задача терминального управления со свободным правым концом фазовой траектории.

,

а на правый конец фазовой траектории никаких ограничений нет:

Г=Х,

II. Задачи быстродействия.

В задачах быстродействия критерием качества является функционал быстродействия:

.

а) Задача быстродействия с закрепленными концами фазовых траекторий.

, .

Требуется перевести систему (11.1.1) из состояния в состояние за минимально возможное время. Довольно часто .

б) Задача быстродействия с подвижными концами фазовых траекторий.

, , Ø.

Необходимо перевести систему из множества на множество за минимально возможное время.

III. Задача Лагранжа.

В задаче Лагранжа критерием качества является интегральный функционал

IV. Задача Больца.

В задаче Больца критерием качества функционал Больца

Во всех рассмотренных задачах момент может быть и не фиксирован.

Основные проблемы теории управляемых процессов

Основные проблемы теории управляемых процессов рассмотрим на примере задачи быстродействия. Рассмотрим задачу о быстрейшем приведении некоторого управляемого объекта из заданного начального положения в заданное конечное.

1. Проблема построения математической модели или математического описания управляемого объекта

На данном этапе необходимо построить математическую модель или математическое описание управляемого объекта. Вопросы, связанные с математическим описанием управляемого объекта и составляют первую проблему – проблему идентификации в теории оптимальных процессов. Наиболее распространенная задача – задача параметрической идентификации, когда уравнения управляемого объекта составлены с точностью до некоторых параметров, которые затем подбираются таким образом, чтобы полученная математическая модель в некотором смысле лучшим образом отражала движение управляемого объекта. Решение этой проблемы состоит в построении достаточно хорошей математической модели управляемого объекта.

Допустим, что построили математическую модель. Пусть поведение объекта может быть описано с помощью системы

.

Как правило, фазовые переменные управляемого объекта не поддаются непосредственному измерению или наблюдению, а известны т.н. функции выхода , которые связаны с фазовыми переменными зависимостью

.

2. Проблема наблюдаемости

Данная проблема состоит в восстановлении текущего или начального фазового состояния управляемого объекта по известной вектор-функции z(t) (или по известным функциям выхода ). Она так или иначе относится к математическому описанию.

В результате решения данной проблемы имеем математическую модель

с начальным условием (11.2.1)

В результате решения двух сформулированных проблем мы можем поставить задачу математически, осуществить математическую постановку задачи. Задача состоит в нахождении такого допустимого управления, которое переводит систему (11.2.1) из начального состояния х⁰ в заданное конечное положение х¹ за минимально возможное время. Речь идет о задаче быстродействия. Возникает вопрос: существует ли вообще допустимое управление, удовлетворяющее данным требованиям.

3. Проблема управления системой

Суть её состоит в нахождении условий, при которых существует хотя бы одно управление, переводящее систему (11.1.1) в положение х¹. Существует ли среди всех этих допустимых управлений оптимальное управление. Проблема состоит в нахождении условий существования оптимального управления в заданном классе функций (классе измеримых функций). В некоторых вопросах большое значение имеет задача о единственности оптимального управления.

4. Проблема получения необходимых условий оптимальности, т.е. нахождения таких условий, которыми характеризуется оптимальное управление.

Основной результат решения этой проблемы составляет принцип максимума Л.С.Понтрягина.

5. Проблема получения достаточных условий оптимальности.

Эта проблема решается в теории оптимальных процессов с помощью метода динамического программирования Р.Беллмана. В результате решения этой проблемы окончательно решаем задачу оптимального управления.

6. Проблема построения вычислительных процедур нахождения оптимального управления на основе всех предыдущих результатов.