Вопрос 8. Формула прямоугольников.

f(x)

a b x

Разобьем отрезок [a;b] на n равных участков (с шагом h=). Геометрически площадь криволинейной фигуры можно заменить площадью прямоугольника. Тогда

Вопрос 9. Формула трапеций.

f(x)

a b x

Разобьем отрезок [a;b] на N равных участков (с шагом h=). Геометрически площадь элемента криволинейной фигуры можно подменить площадью трапеции.

Вопрос 10. Метод Монте-Карло.

Метод основан на использовании результатов статистических испытаний. С помощью датчика случайных чисел получаем последовательность чисел X_i (i = 1…n) в интервале [a,b]. x принадлежит [0,1]

f(x) в точке b известно, аналогично можно получить значения случайных чисел по оси Y.

где y_i – последовательность случайных чисел, равномерно распределенных в интервале [0,1].

Каждая пара испытаний определяет одну точку на поверхности (a,b,f(b),c).

Для каждой точки n(x_n, y_n) проверяется условие

,

Каждая лежащая под кривой точка запоминается.

При достаточно большом количестве испытаний отношение количества точек под кривой N_p к общему количеству точек N_o будет пропорционально соотношению площади под кривой a,b,f(b),f(a) к площади прямоугольника a,b,f(b),c. Тогда

Вопрос 11. Приближение функций, основные понятия и определения.

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

экстремальные задачи на классах функций - задачи, связанные с отысканием верхней грани погрешности приближения на фиксированном классе функций и с выбором для него наилучшего в том или ином смысле аппарата приближения.

Теория приближений — раздел математики, изучающий вопрос о возможности приближенного представления одних математических объектов другими, как правило более простой природы, а также вопросы об оценках вносимой при этом погрешности. Значительная часть теории приближения относится к приближению одних функций другими, однако есть и результаты, относящиеся к абстрактным векторным или топологическим пространствам.

Теория приближений активно используется при построении численных алгоритмов, а также при сжатии информации.

Примеры

• Вместо вычисления точного значения функции sinx при малых x можно воспользоваться самим x, то есть . Чем больше будет x, тем больше будет погрешность такого приближения.

• Чтобы запомнить некоторую функцию можно запомнить ее значения в некоторых точках (говорят: на сетке), а в остальных точках вычислять ее по какой-нибудь интерполяционной формуле. Вопрос об оптимальном выборе (для конкретной функции или для функций из какого-то класса) сетки и формулы относится как раз к теории приближения

Вопрос 12. Приближение функций, метод наименьших квадратов

Пусть в результате изменений в процессе опыта получена таблица некоторой зависимости f:

x	x1	x2	….	xn
f(x)	y1	y2	….	yn

Нужно найти формулу, выражающую эту зависимость аналитически. То есть найти функцию заданного вида y=F(x) (*), которая в точках x₁, x₂, …, x_n принимает значения как можно ближе к табличным значениям y₁, y₂, …, y_n.

Практический вид приближающей функции F можно определить следующим образом. По таблице строится точечный график функции f, а затем проводится кривая по возможности наилучшим образом приближающая характер расположения точек.

По полученной таким образом кривой устанавливается вид приближающей функции. Формула (*) называется уравнением регрессии y на x.

Рассмотрим один из распространенных способов нахождения формулы (*). Предположим, что приближающая функция F в точках x₁, x₂, …, x_n имеет значение y₁*, y₂*, …, y_n* (**). Требование близости табличных значений y₁, y₂, …, y_n и значений можно истолковать следующим образом. Будем рассматривать совокупность точек таблицы и (**) как координаты двух точек n-мерного пространства.

Задачу формируем таким образом: найти такую функцию F заданного вида, чтобы расстояние между точками M(y₁, …, y_n) и M*(y₁*, …, y_n*) было наименьшим, .т.е

что равносильно

Эта задача носит название приближения функции методом наименьших квадратов.

В качестве приближающих функций в зависимости от характера точечного графика функции f часто используют следующие функции:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

Здесь a, b, c, n – параметры

Когда вид приближающей функции установлен, задача сводится только к отысканию значений параметров.

Рассмотрим метод нахождения параметров приближающей функции в общем виде на примере приближающих функции с тремя параметрами:

Имеем

i=1, …, n

Найдем параметры. Используем необходимое условие экстремума.

Введем обозначения:

(*)

Решив систему получим значения параметров a и b, следовательно конкретный вид линейной функции.

В случае нахождения приближающей функции в виде квадратного трехчлена:

(**)

Решение системы (**) дает значение параметров a, b, c для корректной квадратичной функции. Аналогично могут быть найдены функции в виде других элементарных функций.

То есть

Решив эту систему 3 уравнений с 3 неизвестными относительно параметров a, b, c, мы получим конкретный вид функции F(x,a,b,c).

Естественно ожидать, что значения найденной функции в точках x₁, x₂, …, x_n будут отличаться от табличных значений y₁, y₂, …, y_n. Значения разностей y_i-F(x_i,a,b,c)=_i называются отклонениями эмпирической формулы должно быть наименьшей.

2.6.2. Нахождение приближающей функции в виде линейной функции и квадратного трехчлена (линейная и квадратичная регрессии)