Вопрос 3.Решение нелинейных уравнений. Графический метод.

При решении уравнения F(x) = 0 прежде всего важно предварительно изучить расположение корней и заключить каждый корень в малую область, содержащую только один корень. Эту операцию удобно выполнять с использованием пакета MathCAD

(Лабораторная работа №2).

Для этой цели часто применяют графические методы. Если требуется найти только действительные корни уравнения, то для отыскания грубых значений корней можно построить график функции F(x) = 0 и найти абсциссы точек пересечения графика с осью X. Эти приближенные значения точек пересечения графика функции с осью X и принимают за начальные приближения к корням уравнения.

Если уравнение не имеет близких между собой корней, то этим способом они легко отделяются.

Например

Иногда удобно представить уравнение F(x) = 0 в виде F1(x) = F2(x) и затем, построив графики функций y1 = F1(x) и y2 = F2(x), найти абсциссы точек пересечения, которые и будут приближенными значениями корней.

Например

Корни уравнения симметричны относительно X=0. Поэтому мы можем рассматривать только положительные корни.

Значения x₁, x₂, x₃ и еще нескольких корней можно довольно точно определить графически. Но на графике не будет x_n для больших значений n. Значения x_n при больших n будут близки к πn.

Эти значения можно уточнить.

Пусть ,

где ε_n – некоторые небольшие добавки.

Тогда

Т.к. очень мало, то можно принять и

и .

В результате получим улучшенное значение корня

Преимущества графического метода решения – удобство и простота. Недостаток – данный метод применим только для грубого отделения корня.

Нахождение корней уравнений с использованием встроенной функции root пакета MathCAD.

Чтобы найти корень уравнения, необходимо задать начальное значение неизвестной и затем использовать функцию root, формата root (выражение, имя переменной).

Для того, чтобы найти все корни уравнения, необходимо локализовать (отделить) отрезки, содержащие по одному корню уравнения. Эту операцию удобно выполнить графически, а затем с помощью функции root найти все корни, указав начальные приближения в соответствии с локализованными отрезками.

Например, при нахождении корней уравнения для приведенного ниже графика можно указать в качестве начальных приближений значения переменной X=-0.7 и X=1.1. А функция root найдет ближайшие к начальным приближениям значения корней с заданной точностью.

Вопрос 4. Решение нелинейных уравнений. Метод деления отрезка пополам

Метод является простейшим и надежным алгоритмом уточнения корня на отрезке [ab].

Пусть задана функция f(x), необходимо решить уравнение f(x)=0. Функция f(x) непрерывна на отрезке [ab] и f(a)*f(b) <0.

Для нахождения корня отрезок [ab]делим пополам .

Если , то является корнем уравнения.

Если , то выбираем тот отрезок [aс] или [сb] на концах которого функция f(x) имеет противоположные знаки.

Новый уменьшенный отрезок (например [сb]) снова делим пополам и т.д.

В результате на каком-то этапе получаем либо точный корень, либо последовательное приближение к корню.