Вопрос 5. Решение нелинейных уравнений. Метод хорд

Постановка задачи

Имеем нелинейное уравнение F(x) = 0, где функция F(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и F(a) * F(b) < 0. Предположим, что внутри отрезка [a,b]имеется только один корень уравнения, т.е. F(x) монотонна и производная на отрезке больше (или меньше) 0 F'(x) > 0.

Для нахождения корня заменим график функции F(x) на отрезке [a,b] хордой, проходящей через точки [a,f(a)], [b,f(b)].

Пусть точка c есть точка пересечения хорды [a,f(a)], [b,f(b)] и оси X. Точка c и есть первое приближение к корню уравнения.

Пусть f(c) * f(b) < 0. Затем проводим хорду [c,f(c)], [b,f(b)] и т.д. Но это графическое решение, необходимо получить математическую формулу.

Математическая формула

Уравнение прямой, проходящей через две точки [a,f(a)], [b,f(b)].

Точка пересечения хорды [a,f(a)], [b,f(b)] с осью X есть

Эта и есть расчетная формула в методе хорд. Далее применяем этот метод к тому из отрезков [a,c] or [c,b], на концах которой функция принимает разный знак и получаем второе приближение и т.д.

Вопрос 6. Метод касательных

Постановка задачи

Имеем нелинейное уравнение F(x) = 0, где функция F(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и F(a) * F(b) < 0. Предположим, что внутри отрезка [a,b]имеется только один корень уравнения, т.е. F(x) монотонна и производная на отрезке больше (или меньше) 0 F'(x) > 0.

Уравнение касательной в точке имеет вид

При пересечении оси X Y = 0

Выражая из формулы x_n+1, получим расчетную формулу

Преимущества метода – быстрая сходимость

Недостаток – требует вычисления производной.

Вопрос 7.Метод Крамера.

Теорема Крамера. Если определитель D системы m линейных уравнений с n неизвестными отличен от нуля, то эта система имеет единственное решение. Это решение может быть найдено по формулам.

x₁=; x₂=; …; x_n=

Где k – определитель, получающийся из D заменой k-ого столбца свободными членами системы.

a₁₁…a₁,k-1 b₁ a₁,k+1 … a₁n

k= ……………………………….

a_n1…a_n,k-1 b_n a_n,k+1 …. a_nn

Определение: Определитель матрицы n-ого порядка называется сумма всех произведений элементов этой матрицы, взятых по одному из каждой строки и по одному из каждого столбца: при этом каждое произведение снабжено знаком «+» или «-» по некоторому правилу

x₁-2x₂+3x₃-x₄=6

2x₁+3x₂+4x₃+4x₄=-7

3x₁+x₂-2x₃-2x₄=9

x₁-3x₂+7x₃+6x₄=-7

. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Согласно теореме Крамера, решение системы линейных алгебраических уравнений может быть найдено по формулам:

где - определитель, получающийся заменой k-го столбца матрицы свободными членами системы.

Для решения системы необходимо задать соответствующие матрицы и найти их определители, используя встроенные матричные операторы пакета MathCAD.