Колебательные движения

Линейными называются колебания, описываемые линейными дифференциальными уравнениями.

При движении материальной точки может действовать сила упругости, стремящаяся вернуть точку к некоторому положению. Эта сила упругости называется восстанавливающей, В большинстве задач рассматривается восстанавливающая сила F изменяющаяся по линейному закону (по закону Гука).

При растяжении пружины эта сила прямо пропорциональна удлинению F=—сΔх, где Δх — смещение конца пружины из ненапряженного состояния, с — коэффициент упругости (коэффициент жесткости), численно равный силе, которую надо приложить к пружине для того, чтобы изменить ее длину на единицу.

Свободными называются колебания материальной точки, которые происходят под действием восстанавливающей силы. При движении материальной точки М массы m по горизонтальной оси х под действием восстанавливающей силы F, равной по модулю F = с|х|, имеет место дифференциальное уравнение движения. x″+k²x=0, где k²=с/m.

Влияние силы сопротивления на свободные колебания материальной точки. При движении материальной точки в среде, препятствующей движению (воздух, жидкость), возникает сила сопротивления движению. Эта сила при малых скоростях движения точки может приближенно считаться прямо пропорциональной первой степени скорости точки: R = βv, где β— постоянный коэффициент; при больших скоростях — квадрату скорости точки: R = β₁v², где β₁— постоянный коэффициент.

Рассмотрим свободные колебания материальной точки при наличии силы, пропорциональной первой степени скорости точки: R = βv. В этом случае дифференциальное уравнение движения материальной точки имеет вид: x″+2n x′+k²x=0, где k²=с/m, 2n= β/ m.

Вынужденные колебания. Резонанс. Рассмотрим случай, когда на колебательную систему действует периодическая внешняя сила f(t)=а sinω₁t, предполагая для простоты, что сопротивление среды отсутствует (μ=0). В этом случае уравнение движения принимает вид

Это линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами. Общее решение этого уравнения является суммой общего решения у соответствующего однородного уравнения, и частного решения ỹ неоднородного уравнения, которое надо найти.

Рассмотрим отдельно два случая.

а) ω≠ω₁, т. е. частота внешней периодической силы отлична от частоты свободных колебаний груза. Так как число iω не совпадает с корнем характеристического уравнения k² +ω²= = 0, то частное решение можно найти в виде

ỹ = А соsω₁ t + В sin ω₁ t.

Дифференцируя ỹ дважды и подставляя и ỹ и ỹ″ в уравнение найдем: В = , А=0.

Таким образом, ỹ = sinω₁t и общее решение уравнения имеет вид:

у = ỹ + У = sinω₁t + А sin(ωt+φ)

Отсюда следует что частное решение ỹ определяет колебание системы, создаваемое внешней силой, общее решение У= А sin(ωt+φ) — свободное колебание груза, а общее решение у — сложное колебательное движение, получающееся в результате сложения двух колебаний с разными частотами ω и ω₁.

В этом случае амплитуда постоянна, и если ω и ω₁ близки по величине, то груз совершает колебания около положения равновесия с большой амплитудой.

б) ω=ω₁ т. е. частота внешней периодической силы совпадает с частотой свободных колебаний груза. Так как iω₁= iω — корень характеристического уравнения k² + ω² = 0, то в этом случае частное решение следует искать в виде ỹ = t(А соsωt + В sinωt.).

Дифференцируя ỹ дважды и подставляя ỹ и ỹ″ в уравнение найдем: А=, В=0. Таким образом, ỹ = и общее решение уравнения имеет вид у=ỹ+У=А sin(ωt+φ)

Следовательно, в данном случае имеет место сложное колебательное движение, получающееся в результате сложения двух колебаний, но с одинаковыми частотами.

Наличие множителя t во втором члене свидетельствует, что амплитуда колебаний неограниченно возрастает при неограниченном возрастании времени t, т. е. груз будет совершать через некоторый промежуток времени колебания с очень большой амплитудой, даже если амплитуда а внешней силы мала. Это явление называется резонансом. Иногда оно приводит к разрушению колеблющихся систем.