2. Однородные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение вида Р(х,у)dх + Q(х,у)dу= 0 называется однородным, если Р(х,у) и Q(х,у)dу – однородные функции одинаковой степени.

(Функция f(х,у) называется однородной функцией степени n, где n – целое, если при любом α имеет место тожество f(αх, αу) = αⁿ f(х,у).)

В частности, функция f(х,у) однородная нулевой степени, если f(αх, αу) = f(х,у)

Уравнение может быть приведено к виду у′=

Однородное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи замены переменной: =u, т.е. у= uх, где u = u(х), - новая неизвестная функция (можно также применять подстановку =u).

3. Линейные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение вида у′ +р(х)у = q(х), (1)

где р(х) и q (х) - непрерывные функции (в частности — постоянные), называется линейным уравнением первого порядка.

Уравнение х'+р(у)х = q (у) является линейным относительно х и х′.

Если q (х) ≡ 0, то уравнение (1) принимает вид у'+р(х)у = 0 и называется линейным однородным. Оно является уравнением с разделяющимися переменными. В случае q(х) не тождественно 0 уравнение (1) называется линейным неоднородным уравнением.

Решение уравнения (1) находится в виде у = uv, где u = u(х) и v = v(х) — неизвестные функции от х (метод Бернулли). При этом одну из этих функций (например, v(х)) можно выбрать произвольно (из соображений удобства), тогда вторая определится из уравнения (1). В обоих случаях они находятся из уравнений с разделяющимися переменными.

Кроме того, уравнение (1) можно решить методом вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа); в этом случае его общее решение ищется в виде:

С(х)·е ^-∫p(x)dx.

Уравнение вида: у'+р(х)у = f(x)уⁿ,

где nR; n≠0; n≠1, а р(х) и f(х) — непрерывные функции, называется уравнением Бернулли.

Оно приводится к линейному уравнению с помощью подстановки z = y^-n+1. Уравнение Бернулли можно, не сводя к линейному, проинтегрировать с помощью подстановки у = uv (т. е. методом Бернулли) или применив метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).

4. Уравнение в полных дифференциалах.

Уравнение Р(х;у)·dx + Q(х;у)·dу = 0 называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции т.е. Р(х;у)·dx + Q(х;у)·dу = du(х;у).

В этом случае ДУ можно записать в виде du(х;у) = 0, а его общий интеграл будет: u(х;у) = с.

Условие, по которому можно судить, что выражение Δ = Р(х;у)·dx + Q(х;у) – полный дифференциал: .

5. Дифференциальные уравнения, неразрешенные относительно производной. Уравнение Лагранжа

Уравнение вида у = х·φ(у') + ψ(у'),

где φ и ψ известные функции от у' = называется уравнением Лагранжа.

Введем вспомогательный параметр, приняв у' = р.

Тогда уравнение примет вид у = х·φ(р) + ψ(р).

Дифференцируя по х, получим: = φ(р) +х·φ'(р)· + ψ'(р)·

т.е. или - линейное уравнение

относительно неизвестной функции х = х(р). Решив его, найдем: х = λ(р;с).

Исключая параметр р из уравнений, получаем общий интеграл уравнения в виде у = γ(х; с).

При делении на могли быть потеряны решения, для которых =0, т. е. р = р_о = соnst. Это значение р_о является корнем уравнения р—φ(р) = 0.

Решение у = х·φ(р_о)+ψ(р_о) является особым для уравнения.