17

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

РОСМОРФЛОТ

Крымский филиал

ФГОУ ВПО «Морская государственная академия

имени адмирала Ф.Ф.Ушакова»

КАФЕДРА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ДИСЦИПЛИН

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

и

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к курсовой работе по высшей математике

«Применение дифференциальных

уравнений для отображения

механических процессов»

для курсантов механических специальностей

СЕВАСТОПОЛЬ 2011

СОДЕРЖАНИЕ

Общие положения и правила оформления курсовой работы………………………....3

1. Основные виды дифференциальных уравнений, применяемые для описания

различных механических процессов…………………………………………...6

2. Варианты заданий……………………………………………………...………13

Рекомендованная литература ………………….…………………………………….…9

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ И ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ КУРСОВОЙ РАБОТЫ

Выполнение курсовой работы предусмотрено примерными программами дисциплины «Высшая математика» и учебным планом механических специальностей.

Целью курсовой работы является практическое освоение теоретического материала темы «Дифференциальные уравнения».

Курсовая работа выполняется в том же семестре, в котором изучается тема «Дифференциальные уравнения» с целью эффективного освоения теоретического материала, изучения механических процессов, описываемых дифференциальными уравнениями и их системами, применения основных типов дифференциальных уравнений к условиям инженерно-технических задач, физико-механических законов; подготовки курантов к более осмысленному изучению дисциплин общетехнического и специального циклов, установлению межпредметных связей между курсом высшей математики общеинженерными и специальными дисциплинами.

Курсовая работа представляет собой теоретическую часть, описывающую основные виды дифференциальных уравнений и их применение для описания различных механических процессов, задание по описанию заданного механического процесса при помощи дифференциального уравнения, нахождению его частного решения по заданным начальным условиям, построению интегральной кривой, описывающей данный процесс.

Курсовая работа выполняется на одной стороне формата А4 с полями: слева – 20 мм, остальные 10 мм. Вариант задания выбирается по порядковому номеру в журнале. Требования к оформлению текстовой части курсовой работы определяется необходимостью прочтения ее другим человеком. Поэтому, работа должна быть выполнена без помарок, чтобы читалась без труда. В текстовой части уравнения и формулы должны сопровождаться соответствующими пояснениями.

Необходимо соблюдать следующую последовательность оформления работы:

1. Титульный лист

2. Задание на курсовую работу

3. Содержание

4. Введение (описание актуальности темы, целей и задач, поставленных в курсовом проекте и методов исследования)

5. Раздел 1. Дифференциальные уравнения, используемые для описания механических процессов (теоретическое описание механического процесса при помощи дифференциальных уравнений, методы их решения.)

6. Раздел 2. Описание заданного механического процесса. (Построение его математической модели при помощи дифференциального уравнения, нахождение частного решения диф.уравнения для заданных начальных условий, построение графика процесса.)

7. Выводы (описание полученных результатов, обоснование возможности применения диф.уравнений для описания механических процессов).

8. Список использованной литературы

Порядок, сроки сдачи отдельных заданий, и процедуру защиты самой курсовой работы определяет руководитель курсовой работы.

О

Министерство транспорта российской федерации

Росморфлот

Крымский филиал

Фгоу впо «Морская государственная академия

Имени адмирала ф.Ф.Ушакова»

Кафедра фундаментальных дисциплин

Курсовая работа

По высшей математике

«Применение дифференциальных уравнений

Для отображения механических процессов»

Выполнил:

к-т гр. ЭСЭУ 23 Иванов И.И.

Вариант: 11

Проверил:

Севастополь 2011

бразец оформления титульного листа

1. Дифференциальные уравнения, используемые для отображения механических процессов

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным; если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Уравнение F(x,y,y′) = 0 или y′ = f(х,у), связывающее между собой независимую переменную, искомую (неизвестную функцию у(х) и ее производную y′(х) называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Решением (или интегралом) дифференциального уравнения первого порядка называется любая функция у=φ(х), которая при подстановке в это уравнение обращает его в тождество. Процесс нахождения решений данного дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка у′ = f (х,у) в области D называется функция у=φ (х, С), обладающая следующими свойствами:

1) она является решением данного уравнения при любых значениях произвольной постоянной С, принадлежащих некоторому множеству;

2) для любого начального условия у(х₀) = у₀ такого, что (х₀;у₀)D, существует единственное значение С=С₀, при котором решение у=φ(х,С₀) удовлетворяет заданному начальному условию.

Всякое решение у=φ (х, С₀), получающееся из общего решения у=φ (х,С) при конкретном значении С = С₀, называется частным решением.

Задача решения дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющего заданному начальному условию у(х₀)=у₀, называется задачей Коши.

Геометрически это равносильно нахождению интегральной кривой, проходящей через точку М₀(х₀,у₀).

Основные типы дифференциальных уравнений, применяемых для описания механических процессов

1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение вида f₁(x)φ₁(y)dx + f₂(x)φ₂(y)dу=0 - уравнение с разделяющимися переменными.

Если ни одна из функций f₁(x), φ₁(y), f₂(x), φ₂(y) не равна тождественно нулю, то в результате деления исходного уравнения на f₂(x), φ₁(y) оно приводится к виду

Почленное интегрирование последнего уравнения приводит к соотношению

которое и определяет (в неявной форме) решение исходного уравнения. (Решение дифференциального уравнения, выраженное в неявной форме, называют интегралом этого уравнения.).

При помощи уравнений данного типа описывают:

• движение тела массой m под действием сопротивления среды;

• закон изменения температуры тела в зависимости от времени;

• закон изменения давления воздуха в зависимости от высоты и др.