Интегрирование лоду второго порядка с постоянными коэффициентами

Частным случаем рассмотренных выше линейных однородных дифференциальных уравнений являются ЛОДУ с постоянными коэффициентами: у" + р·у' + q·у = 0 (где р и q постоянные).

Для нахождения общего решения уравнения достаточно найти два его частных решения, образующих фундаментальную систему.

Будем искать частные решения уравнения в виде у = е^kх, где k – некоторое число (предложено Эйлером). Дифференцируя эту функцию два раза и подставляя выражения для у, у' и у" в уравнение получим: е^kх ·(k² + pk + q) = 0 или k² + pk + q = 0 (е^kх≠0)

Уравнение k² + pk + q = 0 называется характеристическим уравнением ДУ (для его составления достаточно в уравнении заменить у", у' и у соответственно на k², k¹ и 1).

При решении характеристического уравнения возможны следующие три случая.

Случай 1. Корни k₁ и k₂ уравнения действительные и различные: k₁ ≠ k₂ (D=>0). В этом случае частными решениями ДУ являются функции у₁ = е₁^х и у₂ = . Они образуют фундаментальную систему решений (линейно независимы).

Следовательно, общее решение уравнения имеет вид: у = С₁+С₂

Случай 2. Корни k₁ и k₂ характеристического уравнения действительные и равные: k₁=k₂

(D==0)

В этом случае имеем лишь одно частное решение у₁ = , наряду с у₁ решением уравнения будет и у₂ = х.

Частные решения у₁ = и у₂ = х образуют фундаментальную систему решений: W(х) = ≠0. Следовательно, в этом случае общее решение ЛОДУ имеет вид у=С₁+С₂х

Случай 3. Корни k₁ и k₂ характеристического уравнения - комплексные: k₁= α + βi, k₂ = α – βi.

(D=<0, α = , β = >0)

В этом случае частными решениями ДУ являются функции у₁ = е^{(α + βi)х} и у₂ = е^{(α – βi)х}.

Найдем два действительных частных решения уравнения. Для этого составим две линейные комбинации решений у₁ и у₂:

= е^αх ·cos βх = ỹ₁ и = е^αх ·sin βх = ỹ₂

Общее решение уравнения запишется в виде у = е^αх ·(С₁cos βх + С₂sin βх).

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду)

ЛНДУ второго порядка у" + α₁(х)у' + α₂(х)у = f(х), где α₁(х), α₂(х), f(х) - заданные, непрерывные на (а; b) функции.

Уравнение у" + α₁(х)у' + α₂(х)у = 0 левая часть которого совпадает с левой частью ЛНДУ, называется соответствующим ему однородным уравнением.

Общим решением у уравнения (1) является сумма его произвольного частного решения у٭ и общего решения ỹ = с₁у₁ + с₂у₂ соответствующего однородного уравнения (2), т. е. у = у٭ + ỹ.

Основные формы дифференциальных уравнений динамики материальной точки

Ускорение материальной точки массы m, движущейся под действием приложенных к ней сил F₁, F₂,..., F_n, определяется с помощью основного закона динамики (второго закона Ньютона) в сочетании с законом независимости действия сил: mа = F₁+ F₂+...+ F_n.

Дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на оси неподвижных декартовых координат имеют вид

mх" =, mу" =, mz" =.

Где х", у", z"- проекции ускорения а, а F_kх; F_kу; F_kz — проекции силы F на соответствующие оси декартовых координат.

Дифференциальные уравнения плоского движения материальной точки в полярных координатах имеют вид m(r"—rφ'²) =, =

здесь r — радиус-вектор точки, φ — полярный угол.

Дифференциальные уравнения движения материальной точки записываются соответственно выбранной системе координат. Так, дифференциальные уравнения можно составить в цилиндрических, сферических и других криволинейных координатах.

С помощью дифференциальных уравнений движения материальной точки можно решать две основные задачи динамики: прямую и обратную. Прямой называется задача, в которой по заданным движению и массе материальной точки определяется равнодействующая сил, приложенных к этой точке. Обратной называется задача, в которой по заданным силам и массе материальной точки определяется ее движение.