Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Самарский национальный исследовательский университет им. ак. С.П. Королёва (бывш. СГАУ, СамГУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Элементарные функции - лекции.doc

Скачиваний:

Добавлен:

21.12.2018

Размер:

1.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

Показательная функция с действительным показателем

Определение. Показательной функцией с действительным показателем называется функция вида , , .

Свойства.

После того как было введено понятие степени положительного числа с любым рациональным и иррациональным показателем можно сказать, что показательная функция определена на множестве действительных чисел.

Функция принимает лишь положительные значения.

Если , то при , и при .

Если , то при , и при .

Характеристическое свойство:

Следствие 1.

Следствие 2.

Функция строго возрастает на множестве действительных чисел при и строго убывает на этом множестве при .

Функция непрерывна на множестве действительных чисел.

Множеством значений функции является интервал .

Логарифмическая функция

Функция вводится как обратная функция к показательной функции.

Пусть . Рассмотрим функцию . Она непрерывна и строго возрастает на множестве , причём существует и . Тогда по теореме о существовании обратной функции в случае интервала получаем, что на интервале существует функция, обратная данной, непрерывная и строго возрастающая на интервале . Будем обозначать её и называть – логарифмической функцией по основанию . Переходя к принятому обозначению аргумента через , запишем функцию в виде .

Свойства.

Функция определена на интервале .
Функция строго возрастает на .
Функция непрерывна на .
Множеством значений является интервал .
Из того что , а получаем тождества и .
, где .
, где .
, где .

Аналогично вводится логарифмическая функция по основанию при , которая по теореме о существовании обратной функции обладает свойствами:

Функция определена на интервале .
Функция строго возрастает на .
Функция непрерывна на .
Множеством значений является интервал .

Тригонометрические функции: синус, косинус.

Рассмотрим на плоскости единичный круг. Примем точку за начальную точку на окружности. Пусть точка – произвольная точка окружности и может двигаться по окружности по и против часовой стрелки. Движение точки против часовой стрелки считается положительным направлением. Движение не ограничивается одним оборотом.

Пусть точка движется в положительном направлении. Положение точки на окружности можно определить длиной дуги . Так как , то длина численно совпадает с радианной мерой угла между вектором и положительным направлением оси .

Определение. Абсцисса и ордината точки являются функциями величины и называются косинусом и синусом аргумента , при этом

, .

Так как – координаты точки единичной окружности, то , .

Свойства функций.

Функции – периодические с периодом , , и наименьшим положительным периодом

Функции , непрерывны в интервале .

Доказательство. Возьмём любое и покажем, что функция непрерывна в , то есть , то есть для любого существует , такое что для любых , таких что выполняется неравенство

. (1)

Таким образом,

(2)

Положим

(3)

Выберем . Тогда из неравенства (3) в силу транзитивности неравенств (2) и (3) получаем неравенство (1). Следовательно, . В силу произвольности выбора точки получаем, что функция непрерывна в .

Непрерывность в функции доказывается аналогично (доказать самостоятельно). Ч.Т.Д.

Функция возрастает на и убывает на . Функция возрастает на и убывает на .

Доказательство. Покажем, что функция возрастает на . Пусть , при этом . Найдём

Аналогично: , но так как , то .

Тогда , . Отсюда и .

Аналогично доказываются остальные утверждения. Ч.Т.Д.

, где

Доказательство. Пусть . Тогда

Разделим на :

для любого .

Покажем, что последнее неравенство выполняется и для . Если , то . Тогда . Отсюда .

Итак, для любого , . Причём . Тогда по теореме (если в некоторой проколотой окрестности точки выполняется неравенство и , то ) получаем, что . Ч.Т.Д.

Доказательство. Докажем . Возьмём произвольную точку и выберем приращение аргумента , такое что . Тогда приращение функции . Найдём :

Таким образом, . Аналогично доказывается . Ч.Т.Д.

для любого

для любого

Множество значений

Доказательство. Известно, что для любого . Возьмём произвольное и покажем, что существует , такое что .

Функция непрерывна и строго возрастает на , при этом и . Тогда по свойству функции, непрерывной на отрезке получаем, что для любого существует хотя бы одно , такое что .

Свойство для функции доказывается аналогично. Ч.Т.Д.

Формулы приведения для функций с аргументами , , , .

Доказательство. Рассмотрим в плоскости единичную окружность и точку на данной окружности. Повернём систему на угол , получив систему , при этом точка перейдёт в точку . Тогда , .