Понятие степени с иррациональным показателем.

Пусть – иррациональное число, а .

Определение. Степенью числа с иррациональным показателем называется действительное число , такое что для любых , таких что выполняется неравенство , если , и , если . Если же , то полагаем .

Обозначение: .

Теорема существования и единственности. Каково бы ни было число и , и каково бы ни было иррациональное число существует число , являющееся степенью числа с показателем и оно единственно.

Доказательство существования. Докажем для случая .

Пусть – иррациональное число. Докажем, что существует число , такое что для любых , таких что выполняется неравенство .

Рассмотрим возрастающую последовательность десятичных приближений числа с недостатком

(1)

И убывающую последовательность десятичных приближений числа с избытком

(2)

В силу возрастания функции () на множестве рациональных чисел из неравенства (1) следует

, (3)

а из неравенства (2)

. (4)

Любой член последовательности (1) удовлетворяет неравенству для любого натурального . Поэтому для любого натурального . Это неравенство говорит о том, что возрастающая последовательность (3) ограничена сверху числом . Тогда по теореме о существовании предела монотонной ограниченной последовательности получаем, что последовательность (3) имеет конечный предел. Обозначим его через , то есть .

Докажем, что последовательность (4) имеет такой же предел. Так как , то

(5)

Следовательно, по свойству (5) показательной функции с рациональным показателем получаем, что . Найдём :

Итак

(6)

Известно, что если последовательность стремится к своему пределу, возрастая (убывая), то любой член последовательности () своего предела. Поэтому для любого натурального

, (7)

где (8)

Докажем, что – это степень числа с показателем . Для этого надо показать, что неравенство вида (7) верно не только для десятичных приближений числа , но и для любых рациональных чисел и , таких что

. (9)

Возьмём два произвольных рациональных числа и из неравенства (9) и зафиксируем их на момент рассуждений. Рассмотрим последовательность отрезков, концы которых берутся из последовательностей (1) и (2): .

Из равенства (%) получаем, что длина -го отрезка стремится к нулю при . Значит среди этих отрезков найдётся хотя бы один, длина которого меньше расстояния от до ближайшего конца отрезка . Обозначим этот отрезок .

Так как оба отрезка и содержат внутри себя точку , то учитывая длину последнего отрезка получаем, что весь отрезок , то есть выполняются неравенства

(10)

Из неравенства (10) в силу возрастания функции () на множестве рациональных чисел получаем

. (11)

Так как неравенство (7) справедливо для любых десятичных приближений десятичных приближений числа , то оно верно и для и , то есть . Тогда учитывая неравенство (11) получаем, что

. (*)

Итак, каковы бы ни были рациональные числа и из неравенства (9), число удовлетворяет неравенству , а это означает по определению степени, что – степень числа с иррациональным показателем . Таким образом, существование доказано.

Доказательство единственности. Докажем для случая .

Пусть наряду с , которое получено как предел последовательностей (3) и (4), существует другое число , удовлетворяющее неравенствам (12) для любых , таких что .

Так как неравенство (*) верно для любых рациональных чисел, то оно верно и для любых десятичных приближений числа , то есть . Перейдём в этом неравенстве к пределу при :

С учётом (6) получаем , отсюда , то есть число единственное.

В случае доказательство аналогично. Ч.Т.Д.

Замечание 1. В процессе доказательства существования степени с иррациональным показателем в силу (6) мы показали, что , где и – две последовательности десятичных приближений числа с недостатком и избытком. Покажем, что

(12)

Доказательство. Из возрастания последовательности (1) и ограниченности последовательности сверху, а также из убывания последовательности (2) и ограниченности последовательности снизу, следует существование пределов этих последовательностей. Так как в силу (5) , то . Учитывая, что для любого натурального , после перехода к пределу в последнем неравенстве получаем равенство (12).

Следствие. Для того чтобы число было степенью числа с иррациональным показателем необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности рациональных чисел , сходящейся к , то есть если , где для любых , то .

Так как данное условие является необходимым и достаточным, то его можно принять за определение степени числа с иррациональным показателем .

Замечание 2. Определение степени с иррациональным показателем можно применить и для случая рационального показателя.