Элементарные функции Степень и степенная функция с натуральным показателем

Определение. Степенью числа с натуральным показателем называется

Свойства степени:

1⁰.

Доказательство. По определению: и . Тогда . Ч.Т.Д.

2⁰. , если ,

3⁰.

40. , Если

5⁰.

Свойства 2⁰ – 5⁰ доказать самостоятельно.

Определение. Степенная функция с натуральным показателем – это функция, определяемая формулой , , – переменная.

Свойства функции.

1. Областью определения функции является множество всех действительных чисел: .

2. Если – чётное, то функция – чётная. Если – нечётное, то функция – нечётная.

Доказательство. Пусть – чётное, то есть . Тогда .

Итак, при любом . Следовательно, функция – чётная. Аналогично доказывается, что при нечётном функция – нечётная. Ч.Т.Д.

3. Функция , если . Если же , то при чётном и при нечётном .

Доказательство. Очевидно, что при и функция . Докажем второе утверждение. Пусть , тогда . В этом случае по первому утверждению . Отсюда получаем: при чётном

,

при нечётном

Ч.Т.Д.

4. Функция непрерывна на множестве всех действительных чисел.

Доказательство. Сначала покажем, что функция непрерывна на множестве . Для этого достаточно показать, что непрерывна в любой точке . По определению непрерывности в точке надо доказать, что , то есть что . Возьмём любое и докажем что существует : : , то есть . Очевидно, что для любого можно взять , так как из неравенства следует .

Итак, функция непрерывна в любой точке множества . Тогда функция непрерывна на множестве по теореме о непрерывности произведения конечного числа непрерывных функций. Ч.Т.Д.

5. Если – чётное, то функция строго возрастает на промежутке и строго убывает на промежутке . Если – нечётное, то функция строго возрастает на интервале .

Доказательство. Пусть – чётное. Покажем, что функция строго возрастает на промежутке . Возьмём любые , то есть , , причём , и докажем, что . Рассмотрим равенство

(*)

Так как , то . Так как , , то . Следовательно, правая часть равенства (*) положительна

6. Графики всех функций проходят через точки и .

6. Если , то для любого и для любого .

Доказательство. Геометрически это означает, что на график степенной функции с большим показателем лежит ниже графика степенной функции с меньшим показателем. А в интервале – наоборот.

Пусть . Рассмотрим отношение , при этом . В силу строго возрастания степенной функции с натуральным показателем из неравенства следует неравенство , то есть . Поэтому . Умножая обе части неравенства на (по свойству 3), получаем для .

Пусть . Из неравенства получаем . Следовательно, . Ч.Т.Д.

6. 

Доказательство. Напомним определение: , если для любого существует , такое что для любых выполняется неравенство , в нашем случае .

Сначала докажем, что . Для этого возьмём любое и покажем, что существует , такое что для любых выполняется неравенство . Очевидно, что (тогда из неравенства следует неравенство ).

Получили, что – бесконечно большая функция при . Тогда – положительная бесконечно большая функция при по теореме о произведении бесконечно больших функций, то есть .

Случай, когда доказывается с помощью замены .

Ч.Т.Д.

6. Множеством значений функции является промежуток , если – чётное, и , если – нечётное.

Доказательство. Пусть – чётное. Уже известно, что для любого . Следовательно, значение функции попадает в промежуток . Докажем, что эти значения сплошь заполняют промежуток, то есть покажем, что для любого существует , такое что .

Очевидно, что для такое уже найдено, это , так как .

Пусть . Так как , то по определению бесконечного предела функции для любого , а значит и для найдётся, такое что для любых выполняется неравенство . Поэтому найдётся хотя бы одно , такое что . Обозначим . Тогда .

Рассмотрим функцию на отрезке . Функция непрерывная на этом отрезке и принимает на его концах значения: , . Тогда по теореме о промежуточном значении функции, непрерывной на отрезке получаем, что для числа , заключённого между и , найдётся , лежащее внутри отрезка , такое что .

Пусть – нечётное. Возьмём любое и покажем, что существует , такое что . Если окажется, что , то существует , такое что (доказано выше). Пусть , тогда , то есть , а для такого промежутка уже доказано, что существует , такое что , откуда . Так как при нечетном функция является нечётной, то . Тогда можно сказать, что для нашлось , такое что . Ч.Т.Д.