Степень и степенная функция с целым отрицательным показателем

Определение. Степенью числа с показателем () называется число , то есть .

Свойства степени.

1⁰.

20. , Если

Доказательство. Пусть , тогда . Если

, то . Ч.Т.Д,

3⁰.

40. , Если

5⁰.

Определение. Степенной функцией с целым отрицательным показателем называется функция вида , где , – переменная.

Свойства функции.

1. Функция определена для любого , кроме .

2. Если – чётное, то функция – чётная. Если – нечётное, то функция – нечётная.

Доказательство следует из аналогичного свойства знаменателя дроби .

3. Если , то . Если , то при нечётном и при чётном .

Свойство следует из свойства 3 для функции .

4. Функция непрерывна на множестве действительных чисел, кроме , при этом и

Доказательство. Так как , то применим теорему о непрерывности частного.

, где функция непрерывна на как постоянная функция, – непрерывна на (по свойству 4 степенной функции с натуральным показателем), при этом в точке . Тогда функция непрерывна на множестве всех действительных чисел, кроме .

– точка разрыва. Установим её тип:

,

Ч.Т.Д.

5. Функция строго убывает на интервале , а на интервале строго возрастает при чётном и строго убывает при нечётном .

Доказательство. Возьмем любые , при этом . Покажем, что .

В силу возрастания функции на из неравенства следует, что . Разделим обе части неравенства на . Получим . Отсюда .

Возьмем любые , при этом . Тогда , то есть . Тогда по первому случаю из неравенства следует, что

. (*)

Если – чётное, то из (*) следует , то есть функция возрастает на . Если – нечётное, то из (*) следует или , то есть функция убывает на . Ч.Т.Д.

6. График функции пройдет через точку .

7. Если , то при и при .

Доказательство. Пусть и . По свойству 7 степенной функции с натуральным показателем . Разделив обе части неравенства на , получим . Отсюда .

Аналогично доказывается для . Ч.Т.Д.

8. .

Доказательство. .

9. Если – чётное, то множеством значений функции является интервал , если – нечётное, то .

Доказательство. Пусть – чётное. Тогда для любого , то есть значения функции попадают в . Покажем, что значения этой функции сплошь заполняют данный промежуток.

Для этого возьмём любое и покажем, что найдётся хотя бы одно , такое что . По свойству о множестве значений степенной функции с натуральным показателем при чётном для числа существует , такое что . Отсюда , то есть .

Если – нечётное, то доказательство аналогично. Ч.Т.Д.

Показательная функция с рациональным показателем

Определение. Показательной функцией с рациональным показателем называется функция вида , где , , , , – переменная.

Свойства.

1. Функция определена на множестве рациональных чисел.

2. Для любого рационального числа : .

Доказательство. Пусть . По свойству возрастания степенной функции на множестве положительных чисел из неравенства получаем . Отсюда . Пусть . Тогда , где . Отсюда . Пусть . Отсюда , то есть . Ч.Т.Д.

3. Если , то при и при . Если , то при и при .

Доказательство. Пусть . По свойству возрастания степенной функции на промежутке при из неравенства получаем . Отсюда . Если , то функция убывает на промежутке . Поэтому из неравенства получаем , то есть .

Если , то доказательство аналогично. Ч.Т.Д.

4. При функция строго возрастает на множестве рациональных чисел. При функция строго убывает на том же множестве.

Доказательство.

5. Какова бы на была последовательность рациональных чисел , сходящаяся к нулю, то есть , имеет место равенство .

6. Для любой последовательности рациональных чисел , стремящейся к , имеет место равенство

Замечание. Ранее доказательство проводилось с помощью неравенства Бернулли. Возникает вопрос: почему нельзя провести данное доказательство с помощью логарифмирования?

Проанализируем этот способ. Цель: для любого найти номер , такой что для любого натурального выполняется неравенство

. (*)

Пусть . Тогда неравенство (*) примет вид . Отсюда . Если прологарифмируем по основанию последнее неравенство, то получим . Тогда . Обозначим .

Вопрос: почему это незаконно при построении строгой теории элементарных функций.