4. Статистические методы изучения взаимосвязей

Важнейшей целью статистики является изучение объективно существующих связей между явлениями. В ходе статистического исследования этих связей необходимо выявить причинно-следственные зависимости между показателями, т.е. насколько изменение одних показателей зависит от изменения других показателей.

Существует две категории зависимостей (функциональная и корреляционная) и две группы признаков (признаки-факторы и результативные признаки). В отличие от функциональной связи, где существует полное соответствие между факторными и результативными признаками, в корреляционной связи отсутствует это полное соответствие.

Корреляционная связь - это связь, где воздействие отдельных факторов проявляется только как тенденция (в среднем) при массовом наблюдении фактических данных. Примером корреляционной зависимости могут быть зависимости между производительностью труда и заработной платой.

Корреляционно-регрессионный метод анализа

Наиболее простым вариантом корреляционной зависимости является парная корреляция, т.е. зависимость между двумя признаками (результативным и факторным или между двумя факторными). Математически эту зависимость можно выразить как зависимость результативного показателя у от факторного показателя х. Связи могут быть прямые и обратные. В первом случае с увеличением признака х увеличивается и признак у, при обратной связи с увеличением признака х уменьшается признак у.

Важнейшей задачей является определение формы связи с последующим расчетом параметров уравнения, или, иначе, нахождение уравнения связи (уравнения регрессии).

Другая важнейшая задача - измерение тесноты зависимости - для всех форм связи может быть решена при помощи вычисления эмпирического корреляционного отношения :

Пример расчета в практической части курсовой работы.

Коэффициент детерминации.

Линейный коэффициент корреляции оценивает тесноту взаимосвязи между признаками и показывает, является ли связь прямой или обратной. Но понятие тесноты взаимосвязи часто может быть недостаточным при содержательном анализе взаимосвязей. В частности, коэффициент корреляции не показывает степень воздействия факторного признака на результативный. Таким показателем является коэффициент детерминации ², для случая линейной связи представляющий собой квадрат парного линейного коэффициента корреляции или квадрат множественного коэффициента корреляции. Его значение определяет долю (в процентах) изменений, обусловленных влиянием факторного признака, в общей изменчивости результативного признака.

Практическая часть

Имеются следующие выборочные данные по предприятиям оной из отраслей промышленности региона в отчетном году (выборка 20%-ная механическая):

Таблица 1.1

№ пред-приятия п/п	Выпуск про- дукции, млн. руб.	Фонд заработной платы млн. руб	Средне-списочная числен-ность работ-ников, чел.	№ пред-приятия п/п	Выпуск про- дукции, млн. руб.	Фонд заработной платы млн. руб	Средне-списочная числен-ность работ-ников, чел.
1	36,45	11,340	162	16	36,936	11,502	162
2	23,4	8,112	156	17	53,392	16,356	188
3	46,540	15,036	179	18	41,0	12,792	164
4	59,752	19,012	194	19	55,680	17,472	192
5	41,415	13,035	165	20	18,2	5,85	130
6	26,86	8,532	158	21	31,8	9,858	159
7	79,2	26,400	220	22	39,204	11,826	162
8	54,720	17,100	190	23	57,128	18,142	193
9	40,424	12,062	163	24	28,44	8,848	158
10	30,21	9,540	159	25	43,344	13,944	168
11	42,418	13,694	167	26	70,720	23,920	208
12	64,575	21,320	205	27	41,832	13,280	166
13	51,612	16,082	187	28	69,345	22,356	207
14	35,42	10,465	161	29	35,903	10,948	161
15	14,4	4,32	120	30	50,220	15,810	186

Задание 1

Признак – среднегодовая заработная плата (определите как отношение фонда заработной платы к среднесписочной численности работников).

Число групп – пять.

Определяем среднегодовую заработную плату:

Таблица 1.2

№ предприятия п/п	Среднегодовая заработная плата, млн. руб.	№ предприятия п/п	Среднегодовая заработная плата, млн. руб.
			
1	0,07	16	0,071
2	0,052	17	0,087
3	0,084	18	0,078
4	0,098	19	0,091
5	0,079	20	0,045
6	0,054	21	0,062
7	0,12	22	0,073
8	0,09	23	0,094
9	0,074	24	0,056
10	0,06	25	0,083
11	0,082	26	0,115
12	0,104	27	0,08
13	0,086	28	0,108
14	0,065	29	0,068
15	0,036	30	0,085

По исходным данным:

1. Постройте статистический ряд распределения организаций по признаку среднегодовая заработная плата, образовав, пять групп с равными интервалами.

Решение. Обозначим через - среднегодовую заработную плату, т.к она является результативным признаком.

Построим статистический ряд распределения. Величина интервала равна

По данным таблицы 1.2

_{max =} 0,12

_{min =} 0,036

Подставляем известные значения  в формулу и получаем = 0,0168 млн. руб.

Отсюда путем прибавления величины интервала к минимальному уровню признака в группе получим следующие группы предприятий по размеру среднегодовой заработной платы.

Таблица 1.3

Распределение предприятий по размеру среднегодовой заработной платы

№ группы	Группы предприятий по размеру среднегод. з/пл., млн. руб.	Число предприятий в группе	Число предприятий, % к итогу	Накопленная частота
			d	S
I II III IV V	0,036-0,0528 0,0528-0,0696 0,0696-0,0864 0,0864-0,1032 0,1032-0,12	3 6 12 5 4	10,0 20,0 40,0 16,7 13,3	3 9 21 26 30
Итого		30	100	-

Вывод: ряд распределения характеризует структуру совокупности. III группа составляет наибольший удельный вес, это предприятия у которых среднегодовая заработная плата находится в пределах 0,696-0,0864 млн. руб.

2. Постройте графики полученного ряда распределения. Графически определите значения моды и медианы.

Рис.1

Мода равна 0,71

Рис.2

Медиана равна 0,73

3. Рассчитайте характеристики интервального ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Построим расчетную таблицу

Таблица 1.4

ц		ц*1	(ц -) 2*
0,0444 0,0612 0,078 0,0948 0,1116	3 6 12 5 4	0,1332 0,3672 0,936 0,474 0,4464	0,003509 0,001817 0,00 0,001312 0,004356
Итого	30	2,3568	0,010998

а) средняя арифметическая

б) среднее квадратическое отклонение

в) коэффициент вариации

Т.к. коэффициент вариации < 33%, совокупность можно считать однородной, а среднюю рассчитанную для данной совокупности её надежной характеристикой.

4. Вычислите среднюю арифметическую по исходным данным, сравните её с аналогичным показателем, рассчитанным, в п.3 для интервального ряда распределения. Объясните причину их расхождения.

Сделайте выводы по результатам выполнения задания.

Вывод: Более точное значение показывает простая средняя арифметическая =0,0783 млн. руб., т.к. средняя арифметическая взвешенная = 0,0786 млн. руб., рассчитывается по приближенным данным в качестве которых берутся центры интервалов.

Расхождение между средними может быть объяснено характером распределения индивидуальных значений признака внутри каждого интервала, т.е. их отклонением от центра интервала.

Задание 2.

Связь между признаками – уровень производительности труда (рассчитайте как отношение выпуска продукции к среднесписочной численности работников) и среднегодовая заработная плата.

Определяем уровень производительности труда:

Таблица 1.5

№ предприятия п/п	уровень производительности труда, млн. руб.	№ предприятия п/п	уровень производительности труда, млн. руб.
1	0,225	16	0,228
2	0,15	17	0,284
3	0,26	18	0,25
4	0,308	19	0,29
5	0,251	20	0,14
6	0,17	21	0,2
7	0,36	22	0,242
8	0,288	23	0,296
9	0,248	24	0,18
10	0,19	25	0,258
11	0,254	26	0,34
12	0,315	27	0,252
13	0,276	28	0,335
14	0,22	29	0,223
15	0,12	30	0,27

По исходным данным:

1. Установите наличие и характер связи между признаками уровень производительности труда и среднегодовая заработная плата, образовав 5 групп с равными интервалами по обоим признакам, методами:

а) аналитической группировки:

Решение: Обозначим через - уровень производительности труда, т.к она является факторным признаком.

Построим статистический ряд распределения. Величина интервала равна

По данным таблицы 1.5

_{max =} 0,36

_{min =} 0,12

Подставляем известные значения в формулу и получаем = 0,048 млн. руб.

Отсюда путем прибавления величины интервала к минимальному уровню признака в группе получим следующие группы предприятий по уровню производительности труда.

Построим рабочую таблицу

Таблица 1.6