§ 2 Застосування теорії лишків до обчислення означених інтегралів функції дійсної змінної

1. Інтеграл виду: . Де дробово-раціональна функція, яка складена із функцій і .

, комплексна величина, , , (3.1), (3.2), .

, отже при замінні змінних (3.1) і (3.2) знову отримуємо дробово-раціональну функцію змінної .

, ,

, де ІОТ кола .

2. Інтеграл вид: . Нехай функція задана на всій дійсній осі, ІОТ немає і дана функція може бути аналітично продовжена у верхню півплощину і задовольняє таким трьом умовам: , , . І для існують такі , , , що як тільки , тоді:

,

де ІОТ функції у верхній півплощині.

3. Інтеграл виду: , . Нехай функція задана на всій дійсній вісі, немає ІОТ на дійсній осі, також може бути аналітично продовжена у верхню півплощину, а її аналітичне продовження задовольняє умовам леми, тобто , , і при , , незалежно від того в якому напрямку зростає до безмежності. Тоді:

, де ІОТ верхньої півплощини .

Розділ № 4 Перетворення Лапласа

Розглянемо із декількох видів операційного числення лише перетворення Лапласа. Зміст операційного числення полягає в тому, що здійснюється перехід від рівняння стосовно невідомої функції до рівняння стосовно невідомого образу, (просте алгебраїчне рівняння), розв'язати отримане рівняння стосовно образу і повернутись до оригіналу за певними правилами.

§ 1 Означення перетворення Лапласа та його властивості.

1. Означення перетворення Лапласа. Перетворенням Лапласа називається інтегральне перетворення вигляду: ≑, яке в функції змінної ставить у відповідність функцію , де . За умови, що даний інтеграл є скінченним, функція повинна задовольняти такі умови:

1) , ;

2) На довільному скінченому проміжку осі може мати лише скінчене число точок розриву першого роду;

3) – має скінченну степінь зростання для всіх додатних , тобто , (4.1) де найменше із всіх можливих значень, які задовольняють (4.1), є показником зростання функції. Виявляється, що буде аналітичною для всіх .

2. Властивості зображень Лапласа. Властивості повністю визначаються означенням перетворення Лапласа:

1⁰ Лінійність. Нехай ≑, ≑, причому , , то ≑, ;

2⁰ Подібність. Нехай ≑, , то тоді , ;

3⁰ Теорема запізнення. Нехай , , то тоді ;

4⁰ Зображення похідної. Нехай , , то тоді ≑, , причому узагальнена формула має наступний вигляд: ≑, . Дана властивість дає зокрема можливість перейти від диференціальних рівнянь стосовно невідомої функції , до алгебраїчних рівнянь відносно образу Лапласа;

5⁰ Зображення інтеграла. Нехай ≑, , то тоді ≑, ;

6⁰ Зображення згортки. Згорткою двох функцій і називається інтеграл вигляду:

≑, тоді ≑, ;

7⁰ Диференціювання зображення. Нехай , , то тоді ≑, , узагальнена формула має наступний вигляд: ≑;

8⁰ Інтегрування зображення: Нехай , , то тоді ≑, ;

9⁰ Теорема зміщення. Нехай ≑, , то тоді ≑, .

Властивості зображення Лапласа використовуються для того, щоб полегшити процес знаходження зображення образів Лапласа.

§ 2 Знаходження оригіналу за відомим образом Лапласа

Існують два способи знаходження оригіналу за відомим образом. Перший спосіб полягає у застосуванні таблиці властивостей. Другий спосіб – це застосування інтегралу Мелліна: – обернене перетворення Лапласа, де – довільне дійсне значення, причому .

Для того, щоб інтеграл Мелліна існував потрібно, щоб:

1) була аналітична в області ;

2) , при , в області , незалежно від напрямку прямування ;

3) існував інтеграл: , .

Обчислення інтегралу просте, а саме: , де ІОТ області .

Таблиця зображень деяких функцій

1) , ;

2) , , ;

3) , – натуральне, ;

4) , ;

5) , ;

6) , ;

7) , ;

8) , ;

9) , ;

10) , ;

11) , ;

12) , ;

13) , ;

14) , ;

15) , , ;

16) , ;

17) , ;

18) , ;

19) , ;

20) , ;

21) , ;

22) , ;

23) , ;

24) , ;

25) , .