- •Розділ №1 Комплексна змінна і функція комплексної змінної
- •§ 1 Комплексні числа і дії над ними
- •§ 2 Границя послідовності комплексних чисел
- •§ 3 Поняття функції комплексної змінної. Неперервність
- •§ 4 Диференціювання функції комплексної змінної
- •§ 5 Інтеграли по комплексній змінній
- •§ 6 Інтеграл Коші
- •§ 7 Існування похідних всіх порядків аналітичної функції
- •Розділ №2. Ряди аналітичних функцій
- •§1 Рівномірно збіжні функціональні ряди
- •§2 Степеневі ряди. Ряд Тейлора
- •§ 3 Єдність визначення аналітичної функції
- •§ 4 Аналітичне продовження
- •§ 5 Ряд Лорана
- •§ 6 Класифікація ізольованих особливих точок аналітичної функції.
- •Розділ №3. Теорія лишків
- •§1 Лишок аналітичної функції в ізольованій точці
- •§ 2 Застосування теорії лишків до обчислення означених інтегралів функції дійсної змінної
- •Розділ № 4 Перетворення Лапласа
- •§ 1 Означення перетворення Лапласа та його властивості.
- •§ 2 Знаходження оригіналу за відомим образом Лапласа
§ 2 Границя послідовності комплексних чисел
1. Визначення збіжної послідовності. Послідовністю комплексних чисел називається така пронумерована безмежна множина комплексних чисел, кожному членові якої присвоєно деякий номер n , n=1,2,3,..., .
– називається границею послідовності комплексних чисел , якщо для довільного числа , знайдеться такий номер N, що при n >, виконується умова: (при така послідовність буде збіжною):
.
Послідовність є обмеженою, якщо всі його елементи по модулю менші за деяке скінченне число: .
Теорема 1.1. Для того, щоб послідовність була збіжною, необхідно і достатньо, щоб одночасно були збіжними послідовності та (без доведення).
Теорема 1.2. Із будь-якої обмеженої послідовності можна завжди виділити деяку збіжну підпослідовність (без доведення).
2. Критерій Коші. При досліджені збіжності послідовностей в багатьох випадках зручною є необхідна і достатня умова збіжності послідовності, відома під назвою, як критерій Коші.
Критерій Коші. Послідовність збігається тоді і тільки тоді, коли для довільного малого можна вказати такий номер , що виконується нерівність , при і довільному номеру (без доведення).
Нескінченно віддалена точка в теорії комплексних чисел, є границею розбіжної послідовності комплексних чисел.
§ 3 Поняття функції комплексної змінної. Неперервність
1. Основні поняття. Означення функції комплексної змінної співпадає з означенням функції дійсної змінної. Функція – це закон або правило, згідно з яким певному комплексному числу ставиться у відповідність інше комплексне число Е.
Точка z називається внутрішньою точкою множини E, якщо існує такий ε-окіл цієї точки, який повністю входить в цю множину. Точка z є зовнішньою точкою множини E, якщо існує такий ε-окіл цієї точки, який не входить в множину E. Точка z є граничною точкою множини E, якщо існує такий ε-окіл цієї точки, який містить точки, що входять в множину E і точки, які не входять в дану множину. Множина E називається областю, якщо всі її точки задовольняють таким двом умовам:
1) всі точки множини Е є внутрішніми для неї;
2) будь-які дві точки цієї множини можна сполучити деякою ламаною лінією, яка не виходить за межі даної множини.
Замкнута область – це область разом зі своєю границею .
, , , .
Приклад: , . Знайти ,.
==, ==.
2. Неперервність. Функція комплексної змінної z є неперервною в точці , якщо виконується наступна умова: , граничне значення функції співпадає із значенням функції в точці .
Функція є неперервною в деякій області G, якщо вона є неперервною в кожній точці цієї області.
§ 4 Диференціювання функції комплексної змінної
1. Означення похідної. Умови Коші–Рімана. Похідною від функції комплексної змінної називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу при прямуванні приросту аргументу до нуля:
(1.1)
Тут важливим є те, що ця величини не повинна залежати від способу прямування приросту аргументу до нуля.
Теорема 1.3. Якщо функція є диференційованою в точці , то тоді в точці існують частинні похідні функцій та по змінних x, і y, причому мають місце наступні співвідношення:
, . (1.2)
Доведення: За умовами теореми існує границя (1.1), яка не залежить від способу прямування до нуля.
Припустимо, що (прямування здійснюється вздовж осі ), тоді:
.
З існування границі даного комплексного співвідношення випливає, що існують і границі відповідно його дійсної і уявної частини. Тому в точці існують частинні похідні по змінних x, і y від функції та , і має місце формула:
, де , .
Припускаючи, що (прямування здійснюється вздовж осі ), знаходимо:
=
=.
Справедливими є обидві формули для , отже переконуємось у справедливості співвідношень (1.2).
Теорема 1.4. Якщо в точці функції , диференційовані, а їх частинні похідні зв'язані співвідношенням (1.2), то функція є диференційованою функцією комплексної змінної z в точці (без доведення).
Функція є аналітичною в деякій області G, якщо в кожній точці цієї області функція є диференційована, а її похідна є неперервною в цих точках.
Для того, щоб перевірити функцію на аналітичність, потрібно переконатись що для її дійсної та уявної частини виконуються умови Коші – Рімана і частинні похідні від функцій , по x, y є неперервними.
2. Властивості аналітичних функцій.
10 Нехай функції і є аналітичними в деяких областях z є G1, і z є G2, тоді , , є аналітичними в , а є теж аналітичною , за винятком точок, в яких перетворюється в нуль.
20 Функція складена з аналітичних функцій є аналітичною.
30 Якщо пряма функція є аналітичною при z є G, то обернена функція є теж аналітичною функцією, за винятком точок, в яких модуль похідної функції рівний нулю .
40 Якщо відомою є дійсна частина аналітичної функції, то уявну частину цієї функції можна знайти з точністю до константи і, навпаки, якщо відома уявна частина цієї функції то її дійсну частину можна знайти з точністю до константи.
50 Якщо U і V є дійсною і уявною частинами аналітичної функції то .
, де та – одиничні вектори, тобто:
.
3. Геометричний зміст похідної. Нехай функція є аналітичною функцією в деякій області . Виберемо деяку точку і проведемо через неї довільну криву , яка повністю лежить в області . Функція здійснює відображення області комплексної площини на деяку область комплексної площини . Нехай точка переходить в точку , а крива в криву , що проходить через точку (Рис.3). За умови, що існує похідної функції в точці . Припустимо, що і представимо комплексне число в показниковій формі:
. (1.4)
Виберемо такий спосіб прямування до нуля при якому точки лежать на кривій . Очевидно, що відповідні їм точки лежать на кривій . Комплексні числа і відображаються векторами січних до кривих та відповідно. Зазначимо, що і мають геометричній зміст кутів відповідних векторів зі додатними напрямками осей та , а і представляють собою довжини цих векторів. При вектори січних переходять у вектори дотичних до відповідних кривих. Із (1.4) випливає, що , тобто аргумент похідної має геометричний зміст різниці кута вектора дотичної до кривої в точці з віссю і кута вектора дотичної до кривої в точці з віссю (Рис.3).
Рис. 3.
Так, як похідна не залежить від способу граничного переходу, то ця різниця буде тією ж для довільної іншої кривої, яка проходить через точку (хоча значення кутів та можуть змінюватися). Звідси випливає, що при відображенні, що здійснюється аналітичною функцією , що задовольняє умову , кут між довільними кривими і , які перетинаються в точці , дорівнюють куту між їх образами (кривими і ), що пересікаються в точці . Ця властивість даного відображення носить назву властивості збереження кутів. Аналогічно із співвідношення (1.4) отримаємо:
.
З точністю до величин більш високого порядку малості має місце рівність . Геометричний зміст цього співвідношення полягає в тому, що при відображенні, що здійснюється аналітичною функцією за умови, що , безмежно малий лінійний елемент перетворюється подібним чином, причому визначає коефіцієнт перетворення подібності. Ця властивість даного відображення носить назву властивості постійного розтягу.
Відображення околу точки на окіл точки , яка здійснюється аналітичною функцією і існуюча в точці властивість збереження кутів та постійна властивість розтягу, називається конформним відображенням.