§2 Степеневі ряди. Ряд Тейлора

1. Теорема Абеля. Ряд вигляду (2.4) називають степеневим рядом, де – деяка фіксована точка, – коефіцієнти ряду, – елементи функціонального ряду.

Теорема Абеля. Нехай в точці степеневий ряд (2.4) є збіжним і , тоді цей ряд буде збіжним і для всіх точок , які задовольняють умові:, причому в крузі радіусом даний ряд буде рівномірно збіжним (без доведення).

Із теореми Абеля випливають такі наслідки:

1) якщо в деякій точці степеневий ряд (2.4) є розбіжним, то він буде розбіжним для всіх точок , які задовольняють умові ;

2) кожний степеневий ряд (2.4) має свій радіус збіжності ;

3) в середині круга збіжності радіусом сума ряду (2.4) є аналітичною функцією:

;

4) всередині круга збіжності радіусом ряд (2.4) можна почленно диференціювати та інтегрувати;

5) коефіцієнти ряду (2.4) можна виразити через його суму (тобто через функцію ):

, , , … , ;

6) вирази для знаходження радіусу збіжності степеневого ряду (2.4):

, .

2. Ряд Тейлора. Теорема Тейлора. Нехай функція є аналітичною у крузі радіусом , , тоді ця функція може бути подана у вигляді степеневого ряду , причому такий ряд буде збіжним, а подання у вигляді цього ряду є однозначним, оскільки характеризується єдиним набором коефіцієнтів.

Доведення: Запишемо , (2.5)

, (2.6)

, , (2.7)

Підставивши (2.6) і (2.7) у (2.5) отримаємо:

.

Це означає, що функцію можна подати у вигляді степеневого ряду (2.4) єдиним чином. Тобто існує єдиний набір коефіцієнтів ряду С_0, С_1, С₂… для заданої функції.

§ 3 Єдність визначення аналітичної функції

Користуючись єдністю подання функції у вигляді ряду Тейлора, можна показати, що:

1) якщо в області аналітичності функцій і існує збіжна послідовність точок , , ,…, , і в цих точках =,=,…, то ці функції є тотожно рівними на всій області аналітичності цих функцій;

2) якщо функції і співпадають для всіх із деякої кривої , з області аналітичності цієї функції, є тотожно рівними на всій області (область аналітичності);

3) , і співпадають у всіх точках під області , то ці функції будуть співпадати у всіх точках області .

§ 4 Аналітичне продовження

Суть аналітичного продовження полягає в тому, якщо ми знаємо значення функції в деякій частині області аналітичності цієї функції, то ми можемо продовжити цю функцію (аналітично) на решту області аналітичності цієї функції.

Частинний випадок: нехай ми маємо деяку функцію дійної змінної , яка є заданою на деякому проміжку . Вважаючи, що є значення функції , де , то ми можемо аналітично продовжити цю функцію на комплексну площину. На підставі сказаного випливає, що така функція може бути тільки одна.

Аналітичне продовження з дійсної вісі на комплексну площину, доцільно назвати так само.

Властивості і співвідношення для функцій дійсної змінної переносяться на функції комплексної змінної завдяки тому, що аналітичне продовження є єдиним.

Приклад: довести, що :

.

Отже співвідношення, які існують для функцій дійсної змінної переносяться для функцій комплексної змінної, причому в тому ж самому вигляді. Це дає змогу перейти зокрема від диференціальних рівнянь стосовно функцій дійсної змінної до диференціальних рівнянь стосовно комплексної змінної, що в свою чергу може спростити процес розв'язування рівнянь.