5. Исходная предпосылка метода:

Метод эффективных полюсов и нулей (МЭПН) в отличие от других методов синтеза (например, с использованием логарифмических амплитудных характеристик (ЛАХ)) ориентирован па преимущественное использование ЭВМ для решения задач проектирования САР. Метод позволяет решать задачу оптимизации на ЭВМ заданного критерия качества при наличии большого количества ограничений и варьируемых параметров. Метод имеет достаточно простые алгоритмы, что создает возможность не трудоемко выполнить ручные расчеты показателей качества процессов для определения исходных значений параметров элементов САР, используемых далее для расчетов на ЭВМ.

Расчеты с использованием МЭПН являются приближенными. Погрешности могут достигать 10-30 %. Поэтому на заключительном этапе расчета требуется численное моделирование процессов.

Исходной предпосылкой к применению метода является выполнение требования по колебательности системы (µ ). Данное требование имеет вид

µ ≤4,8

Напомним, что колебательность характеризует запас устойчивости САР и связана с расположением корней характеристического уравнения на комплексной плоскости (рис.7):

µ =tg _к

Где _к - угол, внутри (и на границах) которого расположены все корни характеристического уравнения системы.

На (рис. 7) показано расположение четырех корней условной системы (р₁ - р₄).

Рис. 7 Схема расположение корней

6. Расчет границ рабочей области :

Рабочей является область изменения параметров элементов системы, внутри которой выполняется требование по запасу устойчивости. Так как переменных параметров в системе может быть много, то рабочая область в общем случае ограничивается многомерной поверхностью. Если переменных параметра два, то рабочая область будет представлять собой часть плоскости. Именно такой случай имеет место в данном курсовом проекте. Указанная часть плоскости располагается в системе координат, в которой по одной из осей (ось ординат) откладывается коэффициент усиления системы , а по другой оси тот параметр, который наибольшим образом влияет на показатели переходного процесса. Таким параметром в данном проекте является постоянная времени корректирующего элемента. Расположение рабочей области в системе координат ограничивается линиями, называемыми границами. Количество таких линий-границ зависит от порядка характеристического уравнения системы. Для системы третьего порядка (5) таких линий-границ четыре. Математически они представляются следующими соотношениями:

(6)

где (i = 0, 1, 2, 3) - коэффициенты характеристического уравнения третьей степени.

В этих соотношениях знак равенства предназначен для описания линий-границ, а знак неравенства – пространству с той стороны кривой, где выполняются требования по запасу устойчивости.

Перед началом работы с соотношениями (6) целесообразно определить численные значения параметров, образующих коэффициенты уравнения(5). Для этого должны использоваться исходные данные – параметры гидравлической емкости для номинального режима:

А также данные характеристики регулирующего органа:

Максимальное проходное сечение клапана - .

Угол поворота вала исполнительного двигателя – .

Формулы для определения постоянной времени объекта управления Т_оу имеют вид:

(7)

Формула для определения площади проходного сечения вентиля на номинальном режиме получена из уравнения равновесного режима. Коэффициент расхода , учитывает влияние местных сопротивлений, ε = 0,6 − 0,65; g-ускорение силы тяжести; G – массовый расход ткани; p-плотность жидкости; m₁, m₂ - абсолютная влажность ткани соответственно на входе и выходе плюсовки.

Для выполнения расчетов целесообразно привести размерности к системе СИ. В этой системе плотность раствора =10 кг/м³, массовый расход ткани G=3,4 кг/с. Теперь можно выполнить расчет по формулам (7).

Далее необходимо рассчитать постоянные параметры, входящие в состав коэффициента передачи разомкнутой системы (2). Переменным параметром здесь является коэффициент усиления электронного усилителя. Коэффициент усиления магнитного усилителя задается К_му=100. Методика расчета коэффициента передачи измерителя уровня жидкости - К_и , достаточна проста, поэтому здесь расчет этого коэффициента не выполняется, а задается. На схеме (рис.2) выходным сигналом измерителя является напряжение U_h. Выходным сигналом датчика уровня (сильфонного типа) является линейное перемещение свободного конца сильфона. Следовательно, на схеме (рис.2) в состав измерителя введена еще и мостовая электрическая измерительная схема. С учетом этого К_и =0.009*100=0.9

(0.009 – коэффициент передачи сильфона, 100 – коэффициент передачи мостовой измерительной схемы).

Следующими постоянными параметрами являются коэффициент передачи объекта управления К_оу и коэффициент передачи регулирующего органа К_ро. Формулы для расчета коэффициентов :

Вентиль. Предполагая его статическую характеристику линейной, передаточную функцию для него можно представить в виде коэффициента передачи

К_ро = f_1max/ φ_max

f_max - максимальное проходное сечение вентиля;

φ_max - угол поворота вала, при котором происходит полное открытие или закрытие вентиля.

Для определения К_ро необходимо вычислить f_1max =3 f₁⁰

f_1max =3*0,029=0,087 (м²)

К_ро =0,087/13=0,0066

Для расчета параметров К_дв и К_ред необходимо знать параметры двигателя. В системах регулирования обычно применяют двигатели постоянного тока с независимым либо другим типом возбуждения.

Выбор двигателя осуществляют по требуемой мощности, которая рассчитывается оп формуле:

где Р - мощность двигателя, Вт;

Мст - момент статического сопротивления нагрузки, кг*м;

n_ро - максимальная частота вращения исполнительной оси регулирующего

органа, об/мин;

Момент Мст прикладывается к оси регулирующего органа, т.е. к вентилю для его вращения. Поэтому для определения величины момента необходимо знать марку вентиля. Марка вентиля также определяется по справочной литературе. В этой литературе приводится расходные, геометрические и др. характеристики в том числе и величина Мст. Чтобы воспользоваться справочником, необходимо знать максимальный расход жидкости через вентиль. В данной работе таким расходом является величина уноса жидкости тканью из рабочей емкости Q_под =G(m⁰_1- m⁰₂)/р

Для принятых исходных данных Q_под =3,2(1,1-0,11)/10=0,316(м³)

Если расход жидкости изменяется в пределах (0,2-0,6) м³, то величину Мст можно выбирать из диапазона (1,5-2,5) кг*м.

Максимальная частота вращения регулирующего органа n_ро рассчитывается по формуле:

где m – это количество оборотов вентиля, совершаемых за время переходного процесса

.

Если принять t_n=10с, то с учетом _мах=13 об

=(0,2*13/10)*60= 15,6 об/мин

Если принять , то мощность двигателя получится:

Р=1,2*(2*15,6/0,975)=38,4 Вт

В справочнике (см приложение) данной мощности соответствует двигатель постоянного тока независимого возбуждения СЛ-361. Двигатель имеет следующие характеристики:

Номинальное напряжение U, В 110

Полезная мощность Р, Вт 50

Скорость вращения 3000

Момент инерции I, 0,07

Сопротивление обмотки якоря 23

Постоянная двигателя 8

Ток якоря, А 0,55

Ток обмотки возбуждения, А 0,08

Момент на валу, Н*м 0,160

Сопротивление обмотки возбуждения, Ом 1160

Пусковой момент, Н*м 0,300

Вес, кг 2,2

Теперь можно рассчитать оставшиеся коэффициенты передач и постоянную времени двигателя . Для расчета необходимо определить передаточное число редуктора i.

i=n_дв/n_ро=3000/15,6=192,31,

где n_ро – скорость вращения регулирующего органа

Коэффициент передачи Кр=1/i=0,0051

Коэффициент передачи двигателя =1/Се=1/8=0,125 (В*с)^-1

Постоянная времени двигателя =(IRя/Се²)*g=0,07*23*9,81/64=0,246(с)

Теперь рассмотрим содержание коэффициентов уравнения (5) с учетом полученных численных значений параметров:

где

Для упрощения расчетов можно пренебречь малыми слагаемыми в составе первых двух коэффициентов. В результате получатся следующие выражения для коэффициентов уравнения (5):

(8)

Введем обозначения:

К₁= 10,766

К₂=2,59(1+Кму)

К₃=10,766 (1+Кму) (9)

К₄=1+Кму

К₅= 0,001 Кму

С учетом этих обозначений коэффициенты приобретают простой для расчета рабочей области вид

(10)

Далее можно получить уравнения границ рабочей области. Для этого необходимо использовать неравенства (6) и выражения (10).Уравнения имеют вид:

(11)

Эти выражения станут уравнениями границ рабочей области, если заменить знак «меньше или равно» на знак «равенства». Как видно, границ должно быть четыре. Раннее уже указывалось, что рабочая область строится в плоскости изменения двух параметров: и . Следовательно, для расчета кривых, отражающих границы рабочей области необходимо наметить некоторый диапазон изменения параметра . Затем этот диапазон разбить на равные интервалы и для каждой точки, разделяющей смежные интервалы по формулам (9) и (11) вычислить соответствующие им значения коэффициента . Далее строятся кривые и определяется рабочая область.

Выполним расчет рабочей области для рассматриваемого варианта исходных данных. Расчет начнем от формул (9) т.к. все необходимые для этого расчеты были уже выполнены. Напомним, что раньше было задано Кму=100. В результате получены следующие значения коэффициентов:

К₁=10,766

К₂=261,59

К₃=1000,86 (12)

К₄=101

К₅=0,1

Диапазон изменения постоянной времени корректирующего элемента может быть достаточно большим. Однако, при выборе диапазона необходимо ориентироваться на заданную величину времени переходного процесса – t_п. В данном задании t_п=10с. Поэтому диапазон изменения постоянной не должен превышать 1с. Примем Далее составляется таблица и в ней размещаются результаты расчета по формулам (11).По данным таблицы 1 строятся графики.

Таблица №1

Toc,c	Kэу1	Кэу2	Кэу3	Кэу4
0,2	9,67*106	4,5*106	-2,43*104	8,26*104
0,3	6,37*106	4,37*106	-0,88*104	3,33*104
0,4	4,72*106	4,26*106	-0,54*104	1,67*104
0,5	3,72*106	4,15*106	-0,39*104	0,92*104
0,6	3,06*106	4,04*106	-0,30*104	0,52*104
0,7	2,59*106	3,94*106	-0,25*104	0,25*104
0,8	2,24*106	3,84*106	-0,21*104	0,24*104
0,9	1,97*106	3,74*106	-0,18*104	0,21*104

Рис.5 Кривые, образующие рабочую область

На рис.5 изображены 4 кривые, построенные по таблицы №1. По осям абсцисс в системах координат откладывались значения постоянной времени .Видно, что кривые на графиках делят плоскость системы координат на две части. Причем в одной из них выполняется исходная предпосылка метода эффективных полюсов и нулей, а в другой не выполняется. Для того, чтобы отличить эти подобласти, на кривые наносят штриховку. Направление штриховки делают в сторону подобласти, в которой не выполняется исходная предпосылка метода. На рис. 6 представлена рабочая область, полученная при совмещении четырех кривых, представленных на рис.5. В рабочей области размещена кривая =1, разделяющая ее на подобласти с апериодическими и колебательными переходными процессами. Для определения подобластей, в которых >1 или <1 необходимо выполнить пробный расчет, в одной из них, значения по формуле:

(13)

Расчет показал, что в подобласти выше кривой <1 => здесь переходные процессы апериодические.

При определении места расположения рабочей точки в рабочей области необходимо учитывать желаемую форму переходного процесса и время его завершения - . Предположим, что требуется апериодическая форма переходного процесса. В этом случае время переходного процесса будет соответствовать (с точностью метода 10-30%) величине, рассчитанной по формуле:

Первое слагаемое в этой формуле практически не формирует время , так как в рабочей области величина коэффициента усиления находится в диапазоне . Второе же слагаемое вносит существенный вклад в формирование времени переходного процесса. Если принять =10⁵ и =15c , то рассчитанное по этой формуле . Эти координаты определяют место расположения рабочей точки в рабочей области.

Данные =10⁵ и и (12) позволяют по формулам (9) и (10) рассчитать коэффициенты уравнения движения системы (5). Результаты расчета:

На рис.7 показан переходный процесс, соответствующий рассчитанным значениям коэффициентов уравнения движения системы. На рисунке три кривые, две из них показывают процесс затухания первой и второй производной. На установившемся режиме их значения равны 0. Третья же кривая соответствует процессу изменения самой переменной при подаче на вход системы внешнего воздействия Uз=1.

Видно, что переходный процесс апериодический и время tn=15c.

Для получения переходного процесса необходимо численно решать уравнение системы. Для численного решения применяется метод Рунге-Кутта. Для решения можно самостоятельно сделать программу в системе MATLAB, в которой уже разработаны функции, предназначенные для решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Это такие функции как ode23, ode45, ode15 и т.д. Преимуществом этих функций является малый объем подготовительной работы и простота применения.

При любом варианте решения требуется уравнение системы представить в форме Коши. Рассмотрим, какие действия нужно выполнить. Пусть уравнение системы имеет вид.

(14)

Представим данное уравнение в форме Коши, для этого запишем его в виде:

(15)

Выражение (15) запишем относительно старшей производной :

Далее обозначим и запишем систему в виде:

(16)

Эта система представляет собой запись уравнения (14) в форме Коши.