2. Передаточные функции элементов системы

Электродвигатель постоянного тока с независимым возбуждением.

(p)= ^___K_____

^{(T p+1)*p ,}

ult K = 15 1/c*в ; Т = 0,04 с.

Однокаскадный ЭМУ

(p)= ^____K____

^{T p+1 ,}

где К = 3; Т =0,01 с.

Сельсинный датчик

_c(p)=К_с

Для наиболее распространенных сельсинных датчиков принимает­ся

_р(р)=К_р=1/200

12

Выбор минимального значения общего коэффициента разомкнутой системы осуществляется из следующих соображений. В соответствии с техническими требованиями к точности слежения необходимо, чтобы система была астатической и в установившемся режиме сложения при вращении входной оси со скоростью =20 град./с, ошибка не пре­восходила заданной.

Для такой системы

К_min= ^__W__=^_20*60__=120 1/c.

¹⁰ Здесь принято =10 (Табл. 5)

Общий коэффициент усиления системы равен произведению всех последовательно соединенных элементов системы.

К=К_сК_уК_эК К_р

Здесь К_у - коэффициент усиления полупроводникового усилите­ля.

Для обеспечения заданной точности можно определить неизвест­ный коэффициент усиления усилителя К_у

К_min

_Ку=^_________

^К_c^К_э^{К К}_р

3. Структурная схема системы

Структурная схема системы составляется на основе функцио­нальной схемы и показывает, какие элементы входят в состав систе­мы и как соединяются между собой их передаточные функции (рис.4).

Р и с. 4

13

4. Анализ устойчивости системы без корректирующего устройства

Полагаем коэффициент усиления корректирующего устройства Кк=1.

а). Использование критерия Гурвица

Передаточная функция разомкнутой системы

где

Передаточная функция замкнутой системы

Характеристический полином замкнутой системы

Условия устойчивости системы:

В нашем примере

Тэ*Тд = 0,01*0,04=0,0004 К=К_min =120 1/с Тэ+Тд=0,01+0,04=0,05 с.

0,0004 120=0,048< 0,05

Система неустойчива.

Необходимо ввести корректирующее устройство.

б). Использование логарифмических частотных характеристик.

ЛАХ разомкнутой системы

Фазовая частотная характеристика системы

14

Р и с. 5 _о

_{<-1805 - система неустойчива.}

Требуется ввести корректирующее устройство .

Условия устойчивости; - система устойчива;

- на границе ус­тойчивости

- не устойчива.

5. Синтез желаемой ЛАХ

Желаемой ЛАХ разомкнутой системы называется ЛАХ соот-

ветсвующая такой желаемой системе, которая удовлетворяет постав­ленным техническим требованиям.

Она может быть получена на основе исходной системы путем ввода в нее корректирующего устройства, реализуемого простейшими средствами.

15

Имеется связь между видом ЛАХ разомкнутой системы и показа­телями качества замкнутой системы.

В ЛАХ разомкнутой системы выделяют три характерные области (рис.6)

Р и с. 6

а). Область низких частот соответствует диапазону частот 0 < < 0,1

б). Область средних частот , соответствующая диапазонy

зону частот 0,1 < <10

в). Область высоких частот при >10

Низкочастотная часть ЛАХ (точнее ее первая асимптота оп-

ределяет порядок астатизма системы. Если асимптота низких частот

имеет наклон 0 дБ/дек,то имеем статическую систему.

При наклоне асимптоты -20дБ/дек имеем астатическую систему 1-го порядка. При наклоне -40дБ/дек - астатическую систему 2-го порядка и т.д. Вид ( ) определяет статическую точность систе­мы. Значение при =1 определяет общий коэффициент усиления системы 20lgK и величину ошибок системы в установившемся режиме.

Среднечастотная ЛАХ L_cч, в особенности ее асимптота в облас­ти частоты среза , определяет величину -перерегулирование и t_p - время регулирования.

Показано, что не будет превышать 30-40%, если наклон

равен - 20 дб/дек и выполняются условия:

16

отношение 10 и 2 4,

или (10-14)дБ; (10-14) дБ

При этом время регулирования tр уменьшается с ростом

Можно ориентировочно принять:

t=

Высокочастотная часть ЛАХ - практически не влияет на

качество процесса регулирования.

Рекомендуется следующий порядок синтеза желаемой ЛАХ.

Пример 1

1. Из требований к точности системы строится первая асимптота желаемой ЛАХ.

Необходимое значение общего коэффициента усиления системы получаем по соотношению

К_min=

Для астатической системы 1-го порядка низкочастотная асимп­тота будет иметь наклон - 20 дБ/дек (рис.7).

Р и с. 7

2. Из требований к качеству регулирования строится асимптота средних частот.

По заданному значению tр определяется

17

При этом учитываются условия =10 и 4.

Р и с. 8

Примем

=5/0,8=6 1/с; =25 1/с

Выберем за = /10=25/10=2,5 1/с.; 1/Т_ik=2,5;

Т_ik =1/2,5=0,4 1/с

Проведем через =6 отрезок с наклоном - 20 дБ/дек между частотами =25 1/с и =2 дБ/дек.

Из левого конца этого отрезка проведем прямую с наклоном -40 дБ/дек до пересечения с низкочастотной асимптотой.

Точка пересечения может быть принята за типовой харак-

теристики. Ее же примем за корректирующего устройства.

В нашем случае =0,2 1/с. 1/Т =0,2; Т = 1/0,2=5с.

Для получения высокочастотной части желаемой характерис­тики после наклоны оставляем такими же, как и у характеристики

( ). Это делается для того , чтобы корректирующее устройство бы­ло более простым.

18

Полученная характеристика является типовой, так как имеет наклоны на частотах 0 - - 20 дБ/дек, - 40 дБ/дек;

- 20 дБ/дек; и после - 40 дБ/дек.

Частота среза приходится на участок с наклоном -20дБ/дек;

длина участка равна 1 декаде. Условие 2 4 выполняется.

Для получения ЛАХ корректирующего устройства вычтем из жела­емой типовой характеристики - ЛАХ основной части системы ( ).

Это построение выполнено на рис.9.

Мы получили ЛАХ. Такую характеристику имеет цепь с переда­точной функцией

при

ЛАХ такой цепи и ее схема приведены на рис.9а и 9б, где Т = R C; T = (R + R )C. Рассчитаем электрические параметры цепи.

Из чертежа рис.6а получаем, что 1/Т =0,2 1/с; = =1/Т =2 1/с. Следовательно 1/R C =2; 1/(R +R)C=0,2.

Задавшись величиной емкости конденсатора с = 1 мкФ, получим R =0,5 mOm; R =1/0,2-R =5-0,5=4,5 мОм.

Р и с. 9

Для ориентировочной оценки основных показателей переходной функции воспользуемся номограммами, приведенными в [2 c.328 пpи­лож.].

Из типовой характеристики ( ) (pис.5) находим отношение

=25/6=4. Это отношение определит нам нужную пару номограмм

19

[ 2, c. 328 пpилож.]. Находим отношение / =0,2/6= =0,03, а

также определим ординату первого излома ЛАХ ( ) =60,5.

По верхним графикам находим, что / =0,03 =1,4,

следовательно =40%.

По нижним графикам находим,что при / =0,03 пересечение со штрихпунктирной линией равно примерно 0,5. С учетом

масштаба графиков запишем:

/10=0,5, откуда t_р =0,5*10/6=0,8с.

Найдем абсциссу первого выброса переходной функции t_у. Пересечение / =0,03 со штрихпунктирной линией равно 0,25.

Следовательно /10=0,25, откуда t =0,25*10/6=0,4с.

Это позволяет построить примерный график переходной функции h(t) (рис.10)

Р и с. 10

Расчетные значения h(t) соответствуют техническим требовани­ям t =0,8с, h =40%.

Структурная схема системы с корректирующим устройством W (p)=Т /Т приведена ни рис.11.

Р и с. 11

20

С помощью ПЭВМ уточним полученные значения переходной функ­ции системы с корректирующим устройством. Передаточная функция разомкнутой системы

, где

К=120 1/с, Т =1/0,2=5с, Т =0,4с, Т =0,01с, Т =0,04с.

Передаточная функция замкнутой системы

Используем для определения переходной функции h(t) программу РЕНА.

Для приближенного вычисления h(t) пренебрежем малым коэффи­циентом 0,002 0

При вводе значений Ф(р) по запросу программы РЕНА принимаем: степень числителя m=1, степень знаменатели n=3,

коэффициенты числителя b1=48, b0=120,

коэффициенты знаменателя a3=0,25, a2=5,05, a1=49,a0=120,

шаг интегрирования h=0,02

время интегрирования t1=1,2 (t *1,5=0,8*1,5=1,2),

шаг печати n2=5, границы 0,2.

Уточненное значение h(t) приведено на рис.12.

21

Р и с. 12

Пример 2.

Если в соответствии с заданием требуется обеспечить более высокое быстродействие, то целесообразно использовать в качестве корректирующего устройства форсирующую цепь. В этом случае воз­можно на порядок увеличить частоту среза желаемой ЛАХ, что приведет к сокращению времени регулирования t_р.

Пусть для системы с той же передаточной функцией

где К=100, Т =0,2с, Т =0,01с требуется обеспечить t =0,1с.

Строим ЛАХ основной части системы

Lo( )=20lg k-20lg -20lg 1+T -20lg 1+T ;

1/Т=1/0,2=5 1/с, 1/Т =1/0,01= 1/с,

20lg k=20lg100 =40дБ.

Определяем частоту среза желаемой ЛАХ

=3-5/t=5/t=5/0,1=50 1/с.

В данном случае удобно осуществить коррекцию форсирующей цепью.

Для построения желаемой ЛАХ через точку =50 1//с проводим прямую с наклоном - 20 дБ/дек до пересечения с (рис.13).

22

Точку пресечения примем за =9 1/с типовой характеристики. За примем частоту =1/Т =100 1/с. (Длина участка / около

одной декады).

Р и с. 13

Целесообразно далее ввести еще один излом у типовой характе­ристики =120 1/с.

Произведя вычитание характеристик найдем .

Это построение проделано на рис. 13.

ЛАХ вида ( ) рис.14а имеет цепочка рис.14б с передаточной функцией

где К=R2/R1+R2, T +R1C, T + K T

T +1/9=0,11 c T =1/120=0,0083 c.

Р и с. 14

23

Обычно К меньше единицы и такая цепочка дает ослабление сиг­нала. Компенсация этого ослабления производится увеличением коэф­фициента усиления электронного усилителя К с таким расчетом, что­бы общий коэффициент усиления не менялся, оставаясь по прежнему равным К=100 1/с. Расчет электрических параметров цепи произво­дится так же, как и в предыдущей задаче.

Проверим основные показатели переходной функции

/ =100/50=2, / =5/50=0,1, =25 дБ.

Из приложения (cм. в конце) имеем Hm=1,1 или h =10%, t /10=0,4 , откуда t =0,2*10/50=0,08,

t /10=0,2, откуда t =0,2*10/50=0,04 с. Приближенное значение h(t) приведено на рис. 15.

Р и с. 15

Для проверки h(t) с помощью ПЭВМ (программа РЕНА) записываем передаточную функцию разомкнутой системы

где К=100 1/с, Т =0,2, Т =0,01с, Т =0,11с, Т 0,0083 0

Переходим к передаточной функции замкнутой системы:

24

По запросу программы РЕНА вводим исходные данные: m=1; n=3; b1=11; b0=100; a3=0,002 a2=0,21 a1=12,0 a0=100,0;

Принимаем шаг интегрирования h=0,002

(t / 20-50 =0,1/20-50 0,005 - 0,002)

Время интегрирования t1=0,13 (t *1,5=0,1 1,5 0,13) Шаг печати n2=5.

Левая и правая границы графика :0,2

Правую границу получаем округляя h до ближайшего целого 2.

Р и с. 16

Уточненное значение h(t) приведено на рис. 16.

Основные показатели h(t) соответствуют заданным техническим требованиям.

П Р И Л О Ж Е Н И Е

Кандидаты техн. наyк, доценты H.К. БОДУHОВ, Л.А. ОCИПОВ