- •Колебания. Волны.
- •14.1.1.4. График гармонического колебания
- •14.2 Дифференциальное уравнение гармонических колебаний
- •14.2.1 Колеблющиеся системы
- •14.3.2. Сложение колебаний одинаковой частоты и одинакового направления
- •14.3.3. Сложение колебаний близких частот
- •14.3.4. Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний
- •14.4. Затухающие колебания
- •14.4.1. Колеблющиеся системы
- •14.4.5. Дифференциальное уравнение, описывающее затухающие колебания наших двух систем в этих обозначениях будет иметь один и тот же вид
- •14.4.6. Решение
- •14.4.7. Проверка
- •14.5. Вынужденные колебания
- •14.5.5. Дифференциальное уравнение, описывающее вынужденные колебания
- •14.5.6. Решение дифференциального уравнения
- •14.5.6.1. Частное решение неоднородного уравнения
- •14.5.6.1.1. Векторная диаграмма
- •14.5.6.1.2. Резонанс
- •Список литературы, использованный при написании II части конспекта лекций по физике
14.4.7. Проверка
Выясним, при каких условиях эта функция будет решением, для этого найдем и подставим в дифференциальное уравнение.
Сгруппируем члены с косинусом и синусом, на A0e-βt сократим:
.
Для тождественного обращения левой части в ноль надо, что бы коэффициент при косинусе обращался в ноль (коэффициент при синусе обратился в ноль, т.к. мы "удачно" выбрали A(t) = A0-βt). Из этого требования следует выражение для - ω частоты затухающих колебаний.
14.4.8. Частота затухающих колебаний
.
14.4.9. Период затухающих колебаний
.
14.4.10. График затухающих колебаний
14.4.11. Переход к апериодическому движению
При увеличении коэффициента затухания β период затухающих колебаний (14.4.9) растет, при β → ω0 период T → ∞ . При β > ω0 периодическое решение у дифференциального уравнения затухающих колебаний отсутствует:
14.4.12. Логарифмический декремент затухания
,
подставим A(t) = A0-βt.
.
14.4.13. Время релаксации
Время релаксации - это время τ, за которое амплитуда уменьшилась в e=2,7... раз, т.е. , тогда .
.
Т.к. - число колебаний за время , то:
.
14.4.14. Добротность
.
14.5. Вынужденные колебания
Вынужденные колебания - это колебания, происходящие под действием периодического внешнего воздействия.
14.5.1. Колеблющиеся системы |
|
В контур включен последовательно источник переменного напряжения, изменяющегося по гармоническому закону . |
На грузик m действует внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону . |
14.5.2. Законы движения |
|
Закон Ома для неоднородного участка цепи: |
Второй закон Ньютона : |
. |
. |
14.5.3. Применение законов движения |
|
Применим законы движения к изучаемым системам: |
|
Получим дифференциальные уравнения: |
|
, |
. |
Приведем уравнения к каноническому виду - делим на коэффициент при старшей производной и переносим все члены уравнения, содержащие неизвестную функцию, в левую часть: |
|
; |
. |
14.5.4. Введем обозначения |
|
14.5.5. Дифференциальное уравнение, описывающее вынужденные колебания
наших двух систем будет иметь один и тот же вид:
14.5.6. Решение дифференциального уравнения
Решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний - ξ(t) - состоит из двух слагаемых:
,
здесь ξ1(t) - общее решение однородного уравнения, т.е. уравнения с нулем в правой части (см. 14.4.5.),
ξ2(t) - частное решение неоднородного уравнения, т.е. уравнения с ненулевой правой частью - (14.5.5)
- из (14.4.6),
здесь - - частота затухающих колебаний.
ξ1(t) убывает с течением времени и его роль существенна при переходных процессах. Стационарное, установившееся значение ξ(t) определяется, в основном, слагаемым ξ2(t). Наша задача - найти ξ2(t).