- •Колебания. Волны.
- •14.1.1.4. График гармонического колебания
- •14.2 Дифференциальное уравнение гармонических колебаний
- •14.2.1 Колеблющиеся системы
- •14.3.2. Сложение колебаний одинаковой частоты и одинакового направления
- •14.3.3. Сложение колебаний близких частот
- •14.3.4. Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний
- •14.4. Затухающие колебания
- •14.4.1. Колеблющиеся системы
- •14.4.5. Дифференциальное уравнение, описывающее затухающие колебания наших двух систем в этих обозначениях будет иметь один и тот же вид
- •14.4.6. Решение
- •14.4.7. Проверка
- •14.5. Вынужденные колебания
- •14.5.5. Дифференциальное уравнение, описывающее вынужденные колебания
- •14.5.6. Решение дифференциального уравнения
- •14.5.6.1. Частное решение неоднородного уравнения
- •14.5.6.1.1. Векторная диаграмма
- •14.5.6.1.2. Резонанс
- •Список литературы, использованный при написании II части конспекта лекций по физике
Колебания. Волны.
14.1. Понятие о колебательных процессах
Колебаниями называются движения или процессы, обладающие той или иной повторяемостью во времени.
Примеры колебаний:
-
колебание величины заряда на обкладках конденсатора в колебательном контуре;
-
колебание грузика, закрепленного на пружине;
-
колебание маятника.
14.1.1. Гармонические колебания
Гармонические колебания - это такие колебания, при которых колеблющаяся величина x изменяется со временем по закону синуса, либо косинуса:
,
или
где A - амплитуда; ω - круговая частота; α - начальная фаза; ( ωt + α ) - фаза.
14.1.1.1. Фаза колебания
Фаза колебания - это аргумент гармонической функции: ( ωt + α ). Начальная фаза α - это значение фазы в начальный момент времени, т.е. при t = 0.
14.1.1.2. Амплитуда колебания
Амплитуда колебания A - это наибольшее значение колеблющейся величины.
14.1.1.3. Круговая или циклическая частота ω
При изменении аргумента косинуса, либо синуса на 2π эти функции возвращаются к прежнему значению. Найдем промежуток времени T, в течение которого фаза гармонической функции изменяется на 2π .
ω(t + T) + α = ωt + α + 2π,
или
ωT = 2π.
.
Время T одного полного колебания называется периодом колебания. Частотой ν называют величину, обратную периоду
.
Единица измерения частоты - герц (Гц), 1 Гц = 1 с-1.
Так как
,
то
.
Круговая, или циклическая частоты ω в 2π раз больше частоты колебаний ν. Круговая частота - это скорость изменения фазы со временем. Действительно:
.
14.1.1.4. График гармонического колебания
14.2 Дифференциальное уравнение гармонических колебаний
14.2.1 Колеблющиеся системы
Рассмотрим колебания в трех системах:
а) колебания заряда в колебательном контуре L,C;
б) колебания грузика, прикрепленного к пружине;
|
|
|
14.2.2 Колеблющиеся величины |
||
q - заряд |
x - координата грузика |
φ - угол отклонения |
|
|
|
14.2.3. Уравнения движения |
||
Закон Ома (10.7) |
Второй закон Ньютона (4.6) |
Уравнение динамики вращательного движения (7.3) |
|
|
|
14.2.4. Применим закон движения, т.е. учтем особенности наших систем: |
||
Используя другое обозначение производной получим после несложных преобразований: |
||
в) колебание физического маятника - любого тела, совершающего колебания вокруг горизонтальной оси, не проходящей через его центр тяжести.
Мы получили дифференциальные уравнения, описывающие движения наших систем. В первых двух случаях уравнения одинаковы по форме, в третьем случае второй член уравнения содержит не φ, а Sin φ . Если рассматривать только малые отклонения маятника от положения равновесия, то тогда, при φ << 1, Sin φ ≈ φ и мы имеем:
.
Введем обозначения:
, |
, |
, |
, |
, |
. |
14.2.5. Дифференциальное уравнение колебательного движения
Для всех трех рассмотренных случаев имеем одно и то же дифференциальное уравнение колебательного движения
.
14.2.6. Решение дифференциального уравнения
Решением дифференциального уравнения называется функция, обращающая это уравнение в тождество.
Нетрудно проверить прямой подстановкой, что в нашем случае решение имеет вид:
,
т.е. является гармонической функцией. Значит уравнение , это дифференциальное уравнение гармонических колебаний.
14.3. Сложение колебаний
14.3.1. Векторная диаграмма
Векторная диаграмма - это способ графического задания колебательного движения в виде вектора.
Аналитическое задание колебательного движения |
|
Графическое задание колебательного движения |
Вдоль горизонтальной оси откладывается колеблющаяся величина ξ (любой физической природы). Вектор , отложенный из точки 0 равен по модулю амплитуде колебания A и направлен под углом α , равным начальной фазе колебания, к оси ξ. Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью ω , равной циклической частоте колебаний, то проекция этого вектора на ось ξ дает значение колеблющейся величины в произвольный момент времени.