- •Колебания. Волны.
- •14.1.1.4. График гармонического колебания
- •14.2 Дифференциальное уравнение гармонических колебаний
- •14.2.1 Колеблющиеся системы
- •14.3.2. Сложение колебаний одинаковой частоты и одинакового направления
- •14.3.3. Сложение колебаний близких частот
- •14.3.4. Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний
- •14.4. Затухающие колебания
- •14.4.1. Колеблющиеся системы
- •14.4.5. Дифференциальное уравнение, описывающее затухающие колебания наших двух систем в этих обозначениях будет иметь один и тот же вид
- •14.4.6. Решение
- •14.4.7. Проверка
- •14.5. Вынужденные колебания
- •14.5.5. Дифференциальное уравнение, описывающее вынужденные колебания
- •14.5.6. Решение дифференциального уравнения
- •14.5.6.1. Частное решение неоднородного уравнения
- •14.5.6.1.1. Векторная диаграмма
- •14.5.6.1.2. Резонанс
- •Список литературы, использованный при написании II части конспекта лекций по физике
14.3.2. Сложение колебаний одинаковой частоты и одинакового направления
Пусть складывается два колебания:
строим векторные диаграммы и складываем векторы: |
По теореме косинусов .
Так как
,
то
.
Очевидно (см. диаграмму), что начальная фаза результирующего колебания определяется соотношением:
.
14.3.3. Сложение колебаний близких частот
Пусть складывается два колебания с почти одинаковыми частотами, т.е.
, .
Из тригонометрии: . Применяя к нашему случаю, получим:
График результирующего колебания - график биений, т.е. почти гармонических колебаний частоты ω, амплитуда которых медленно меняется с частотой Δω .
Амплитуда из-за наличия знака модуля (амплитуда всегда > 0) частота с которой изменяется амплитуда, равна не Δω / 2 , а в два раза выше - Δω.
14.3.4. Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний
Пусть маленькое тело колеблется на взаимно-перпендикулярных пружинках одинаковой жесткости. По какой траектории будет двигаться это тело?
|
Это уравнения траектории в параметрическом виде. Для получения явной зависимости между координатами x и y надо из уравнений исключить параметр t. |
Из первого уравнения:
; .
Из второго:
.
После подстановки: .
Избавимся от корня:
.
|
- это уравнение эллипса. |
Частные случаи:
14.4. Затухающие колебания
Рассмотрим колебания, происходящие в двух системах:
а) колебания заряда в колебательном контуре L,C, имеющем активное сопротивление R;
б) колебание грузика, прикрепленного к пружинке, учтем влияние трения на движение грузика.
14.4.1. Колеблющиеся системы
14.4.2. Законы движения |
|
Закон Ома для неоднородного участка цепи (10.7): |
Второй закон Ньютона (4.6): |
|
|
14.4.3. Применение законов движения, с учетом особенности наших систем |
|
|
|
Или, используя другое обозначение производной: |
|
|
|
14.4.4. Введем обозначения: |
|
14.4.5. Дифференциальное уравнение, описывающее затухающие колебания наших двух систем в этих обозначениях будет иметь один и тот же вид
.
14.4.6. Решение
Каким будет его решение? При (отсутствие сопротивления, трения) оно должно переходить в (см. 14.2).
Наличие затухания, потерь энергии, переход ее из электромагнитной или механической в тепловую приведет к уменьшению амплитуды колебаний с течением времени, станет другой, меньшей чем ω0, и частота колебаний.
Предположим, что амплитуда убывает по экспоненциальному закону,
т.е. A(t) = A0·e-βt (e=2,71828...),
тогда решение будем искать в виде:
.