- •Теоретические вопросы аналитическая геометрия на плоскости
- •1. Метод координат: числовая прямая, координаты на прямой; прямоугольная (декартовая) система координат на плоскости; полярные координаты.
- •Прямоугольная (или декартовая) система координат на плоскости.
- •Полярные координаты.
- •4. Деление отрезка в данном отношении.
- •Доказательство.
- •5. Определение уравнения линии, примеры линии на плоскости.
- •6. Прямая линия на плоскости:
- •Доказательство.
- •7. Угол между двумя прямыми.
- •8. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
- •9. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
- •10. Расстояние от точки до прямой.
- •Доказательство.
- •11. Линии второго порядка:
- •Аналитическая геометрия в пространстве
- •Прямоугольная система координат в пространстве.
- •2. Уравнения поверхности и линии в пространстве.
- •Уравнение плоскости:
- •Доказательство.
- •Угол между двумя плоскостями.
- •Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.
- •Расстояние от точки до плоскости.
- •Уравнения прямой:
- •Угол между двумя прямыми.
- •Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве. Расстояние точки до прямой.
- •Взаимное расположение прямой в плоскости:
- •Цилиндрические и сферические координаты.
- •Поверхности второго порядка:
-
Уравнение плоскости:
-
общее уравнение плоскости, частные случаи;
Теорема. В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени.
Доказательство.
Считая заданной некоторую декартову прямоугольную систему координат, рассмотрим произвольную плоскость α и докажем, что эта плоскость определяется уравнением первой степени. Возьмем любую М0 (x0, y0, z0) лежащую на плоскости α, выберем любой вектор неравный 0 и перпендикулярный к плоскости α. Выбранный вектор обозначим буквой n., его проекции на оси координат буквами А, В, С.
Пусть M(x, y, z) - любая точка. Она лежит на плоскости α, в том и только в том случае, когда перпендикулярна .
Получим уравнение плоскости α, если выразим это условие через координаты x, y, z.
, .
Признаком перпендикулярности двух векторов является равенство их скалярного произведения, т.е. суммы попарных произведений соответствующих координат этих векторов. Т.о., перпендикулярна в том и только в том случае, когда
(1) – это и есть искомое уравнение плоскости α,
так как ему удовлетворяют x, y, z т. М в том и только в том случае, когда М лежит на плоскости α.
Плоскость α действительно определяется уравнением первой степени.
Рассмотрим некоторые частные случаи уравнения первой степени, именно случаи, когда какие – либо из коэффициентов A, B, C, D обращаются в 0.
1) D = 0; - определяет плоскость, проходящую через начало координат. Действительно числа x = 0, y = 0, z = 0 удовлетворяют уравнению =>
=> (0; 0; 0) плоскости.
2) С = 0; - определяет плоскость параллельную оси Oz (или проходящую через эту ось). Действительно, в этом случае нормальный вектор имеет нулевую проекцию на ось Oz (С = 0); следовательно, этот вектор перпендикулярен Oz, а сама плоскость параллельна ей (или проходит через нее).
3) B = 0 и С = 0; уравнение Ax + D = 0 и определяет плоскость, параллельные координаты плоскости Oxz ( или совпадающую с ней). Действительно, в этом случае нормальный вектор имеет нулевые проекции на оси Oy и Oz следовательно и , а сама плоскость параллельна им (или проходит через каждую из них). Но это и означает, что плоскость, определяемая уравнением Ax + D = 0 , параллельна плоскости Oyz или совпадает с ней.
-
нормальное уравнение плоскости;
Пусть дана какая – нибудь плоскость π. Проведем через (0; 0) прямую n перпендикулярную плоскости π – будем называть эту прямую нормалью, и пометим P точку, в которой она пересекает плоскость π. На нормали введем +-ое направление от точки 0 к точке P (если точка P совпадет с 0, т.е. если данная плоскость проходит через (0; 0), то + направление нормали выберем произвольно) , , - углы, которые составляет направленная нормаль с осями координат, через Р – длину отрезка ОР. Выведем уравнение плоскости π, считая известными числа cos, cos, cos и Р. С этой целью возьмем на плоскости π любую точу М(x, y, z). Проекция на нормаль равна ОР, а так как + направление нормали совпадает с направлением отрезка , то влияние этого отрезка выражается + числом.
Р, т.о. прn = Р (1)
=> (следствие: если некоторая ось n составляет с координатными осями углы , , , то проекция произвольного вектора на эту ось определяется равенством: прn ).
прn (2)
Из равенства (1) и (2) следует, что = Р или
(3)
Уравнение плоскости (3) называется нормальным уравнением плоскости; в этом уравнении cos, cos, cos направляющие cos нормали, Р – расстояние плоскости от начала координат.
-
уравнение плоскости, проходящей через три точки;
В пространстве R3 введена прямоугольная система координат (x1; x2; x3).
Даны три точки не лежащие на одной прямой
Требуется написать уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Из геометрии известно, что такая плоскость существует и единственная. Так как она проходит через точку х, то ее уравнение имеет вид:
(1) , где одновременно неравны 0. Так как она проходит еще через точки и , то должны выполнятся условия:
(2).
Составим однородную линейную систему уравнений относительно неизвестных
(z1, z2, z3): (3).
З
(4).
Уравнение (4) можно еще написать и в следующем виде:
(5).