Доказательство.

Сначала докажем первое утверждение. Если прямая не перпендикулярна Ох, то она определяется уравнением первой степени: у = kx + b, т.е. уравнением вида (5), где

A = k, B = -1 и C = b. Если прямая перпендикулярна Ох, то все ее точки имеют одинаковые абсциссы, равные величине α отрезка, отсекаемого прямой на оси Ох.

Уравнение этой прямой имеет вид х = α, т.е. также является уравнение первой степени вида (5), где А = 1, В = 0, С = - α. Тем самым доказано первое утверждение.

Докажем обратное утверждение. Пусть дано уравнение (5), причем хотя бы один из коэффициентов А и В ≠ 0.

Если В ≠ 0, то (5) можно записать в виде . Пологая , получаем уравнение у = kx + b, т.е. уравнение вида (2) которое определяет прямую.

Если В = 0, то А ≠ 0 и (5) принимает вид . Обозначая через α, получаем

х = α , т.е. уравнение прямой перпендикулярное Ох.

Линии, определяемые в прямоугольной системе координат уравнением первой степени, называются линиями первого порядка.

Уравнение вида Ах + Ву + С = 0 является неполным, т.е. какой – то из коэффициентов равен нулю.

1. С = 0; Ах + Ву = 0 и определяет прямую, проходящую через начало координат.

2. В = 0 (А ≠ 0); уравнение Ах + С = 0 и определяет прямую параллельную Оу.

3. А = 0 (В ≠ 0); Ву + С = 0 и определяет прямую параллельную Ох.

Пусть теперь дано уравнение Ах + Ву + С = 0 при условии, что ни один из коэффициентов А, В, С ≠ 0. Преобразуем его к виду:

(6)

Уравнение (6) называется уравнением прямой «в отрезках». Числа а и b являются величинами отрезков, которые прямая отсекает на осях координат. Эта форма уравнения удобна для геометрического построения прямой.

• нормальное уравнение прямой;

Аx + Вy + С = 0 – общее уравнение некоторой прямой, а (5) x cos α + y sin α – p = 0 (7)

ее нормальное уравнение.

Так как уравнение (5) и (7) определяют одну и ту же прямую, то (А_1х + В_1у + С₁ = 0 и

А_2х + В_2у + С₂ = 0 =>) коэффициенты этих уравнений пропорциональны. Это означает, что помножив все члены уравнения (5) на некоторый множитель М, мы получим уравнение МА_х + МВ_у + МС = 0, совпадающее с уравнением (7) т.е.

МА = cos α, MB = sin α, MC = - P (8)

Чтобы найти множитель М, возведем первые два из этих равенств в квадрат и сложим:

М² (А² + В²) = cos ² α + sin² α = 1

(9)

Число М, по умножении на которое общее уравнение прямой приобретает нормальный вид, называется нормирующим множителем этого уравнения.

Замечание. Если С = 0, то знак нормирующего множителя можно выбрать по желанию.

7. Угол между двумя прямыми.

L₁

L₂

Рассмотрим две прямые L₁ и L₂. Пусть уравнение L₁ имеет вид y = k₁x + b₁, где

k

₁ = tg α₁, а уравнение L₂ – вид y = k₂x + b₂, где k₂ = tg α₂. Пусть φ – угол между прямыми L₁ и L₂: 0 ≤ φ < π. Из геометрических соображений устанавливаем зависимость между углами α₁, α_2, φ: α₂ = α₁ + φ или φ = α₂ - α₁ =>

, или

(1)

Формула (1) определяет один из углов между прямыми. Второй угол равен π – φ.