4. Деление отрезка в данном отношении.

Пусть на плоскости дан произвольный отрезок М₁М₂, и пусть М – любая точка этого отрезка, отличная от точки М₂.

Число λ, определяемое равенством ; называется отношением,

в котором, точка М делит отрезок М₁М_2.

Задача о делении отрезка в данном отношении состоит в том, чтобы по данному отношению λ и данным координатам точек М₁ и М₂ найти координаты точки М.

Теорема. Если точка М (х; у) делит отрезок М₁М₂ в отношении λ, то координаты этой точки определяются формулами

(5)

,

где (x₁;y₁) – координаты точки М₁, (x₂;y₂) – координаты точки М₂.

Доказательство.

Пусть М₁М₂ не перпендикулярны оси OX. Опустим М₁P  OX, MP  OX, М₂Р₂  ОХ.

На основании теоремы элементарной геометрии о пропорциональности отрезков прямых, законченных между параллельными прямыми, имеем . Но по теореме (если М₁ (x₁) и M₂(x₂) – любые две точи и α – расстояние между ними, то )

. Так как числа (x - x₁) и (х₂ - х) имеют один и тот же знак (при х₁<x₂ они положительны, а при х₁>x₂ отрицательны), то . Поэтому , откуда . Если М₁М₂  OX, то x₁ = x₂= x и эта формула очевидно, верна. Вторая формула находится аналогично.

Следствие. Если М₁(x₁; y₁) и М₂(x₂; y₂) – две произвольные точки и точка М (х; у) - середина отрезка М₁М₂, т.е. , то λ=1 и по формулам (5) получаем:

.

Таким образом, каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат.

5. Определение уравнения линии, примеры линии на плоскости.

Рассмотрим соотношение вида F(x, y)=0, связывающее переменные величины x и у. Равенство (1) будем называть уравнением с двумя переменными х, у, если это равенство справедливо не для всех пар чисел х и у. Примеры уравнений: 2х + 3у = 0, х² + у² – 25 = 0,

sin x + sin y – 1 = 0.

Если (1) справедливо для всех пар чисел х и у, то оно называется тождеством. Примеры тождеств: (х + у)² - х² - 2ху - у² = 0, (х + у)(х - у) - х² + у² = 0.

Уравнение (1) будем называть уравнением множества точек (х; у), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки множества и не удовлетворяют координаты никакой точки, не принадлежащие этому множеству.

Важным понятием аналитической геометрии является понятие уравнения линии. Пусть на плоскости заданы прямоугольная система координат и некоторая линия α.

α

Определение. Уравнение (1) называется уравнением линии α ( в созданной системе координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии α, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.

Если (1) является уравнением линии α, то будем говорить, что уравнение (1) определяет (задает) линию α.

Линия α может определятся не только уравнением вида (1), но и уравнением вида

F (P, φ ) = 0, содержащим полярные координаты.

6. Прямая линия на плоскости:

• уравнение прямой с угловым коэффициентом;

Пусть дана некоторая прямая, не перпендикулярная, оси ОХ. Назовем углом наклона данной прямой к оси ОХ угол α, на который нужно повернуть ось ОХ, чтобы положительное направление совпало с одним из направлений прямой. Тангенс угла наклона прямой к оси ОХ называют угловым коэффициентом этой прямой и обозначают буквой К.

К=tg α

(1)

Выведем уравнение данной прямой, если известны ее К и величина в отрезке ОВ, которой она отсекает на оси ОУ.

x

b

α

y=kx+b

(2)

Обозначим через М  точку плоскости (х; у). Если провести прямые BN и NM, параллельные осям, то образуются  BNM – прямоугольный. Т. MC C BM <=>, когда величины NM и BN удовлетворяют условию: . Но NM=CM-CN=CM-OB=y-b, BN=x => учитывая (1), получаем, что точка М (х; у) С на данной прямой <=>, когда ее координаты удовлетворяют уравнению: =>

Уравнение (2) называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. Если K=0, то прямая параллельна оси ОХ и ее уравнение имеет вид y = b.

• уравнение прямой, проходящей через две точки;

(4)

Пусть даны две точки М₁ (х₁; у₁) и М₂ (х₂; у₂). Приняв в (3) точку М (х; у) за М₂ (х₂; у₂), получим у₂-у₁=k(х₂ - х₁). Определяя k из последнего равенства и подставляя его в уравнение (3), получаем искомое уравнение прямой: . Это уравнение, если у₁≠ у₂, можно записать в виде:

Если у₁ = у_2, то уравнение искомой прямой имеет вид у = у₁. В этом случае прямая параллельна оси ОХ. Если х₁ = х₂, то прямая, проходящая через точки М₁ и М₂, параллельна оси ОУ, ее уравнение имеет вид х = х₁.

• уравнение прямой, проходящей через заданную точку с данным угловым коэффициентом;

y – y₁ = k(x – x₁)

(3)

Запишем уравнение прямой в виде (2), где b – пока неизвестное число. Так как прямая проходит через точку М₁ (х₁; у₁), то координаты этой точки удовлетворяют уравнению (2): у₁ = kx₁ + b. Определяя b из этого равенства и подставляя в уравнение (2), получаем искомое уравнение прямой:

Замечание. Если прямая проходит через точку М₁ (х₁;у₁) перпендикулярна оси ОХ, т.е. ее угловой коэффициент обращается в бесконечность, то уравнение прямой имеет вид

х – х₁ = 0. Формально это уравнение можно получит из уравнения (3), если разделить (3) на k и затем устремить k к ∞.

• общее уравнение прямой, частные случаи;

Аx + Вy + С = 0

(5)

Теорема. В прямоугольной системе координат Оху любая прямая задается уравнением первой степени:

и, обратно, уравнение (5) при произвольных коэффициентах А, В, С (А и В ≠ 0 одновременно) определяет некоторую прямую в прямоугольной системе координат Оху.