Аналитическая геометрия в пространстве

1. Прямоугольная система координат в пространстве.

Если указать способ, позволяющий устанавливать положение точек пространства заданием чисел, то говорят, что в пространстве введена система координат.

Декартова прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием линейной единицы для измерения длин и трех пересекающихся в одной точке взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком – нибудь порядке.

Точка пересечения осей называется началом координат, а сами оси – координатными осями, причем первую из них называют также осью абсцисс, вторую – осью ординат, третью – осью аппликат.

Обозначим начало координат буквой О, ось абсцисс – буквой Ох, ось ординат – Оу, ось аппликат – буквами Оz.

Плоскость Oyz разделяет все пространство на два полупространства; то из них расположено в положительном направлении оси Ох, назовем ближним, другое – дальним.

Точно так же плоскость Oxz разделяет пространство на два полупространства; то из них, которое расположено в положительном направлении оси Оу, назовем правым, а другое – левым.

И плоскость Oxy разделяет все пространство на два полупространства; то из них, которое расположено в положительном направлении оси Oz, назовем верхним, другое - нижним.

x

Три плоскости Оху, Оxz и Oyz вместе разделяют пространство на 8 частей: их называют координатными октантами и нумеруют по определенному правилу. Первым октантом называют тот, который лежит одновременно в ближнем, правом и верхнем полупространствах, вторым – лежащий в дальнем, правом и верхнем полупространствах, третьим – лежащий в дальнем, левом и верхнем полупространствах; пятый, шестой, седьмой, восьмой октанты те, которые находятся в нижнем полупространстве соответственно под первым, вторым, третьим и четвертым.

2. Уравнения поверхности и линии в пространстве.

Пусть x, y, x – произвольные переменные величины. Это означает, что под символами x, y, z подразумеваются какие угодно (вещественные) числа. Соотношение вида

F(x, y, z) = 0, где F(x, y, z) означает какое – нибудь выражение, содержащее x, y, z, будем называть уравнением с тремя переменными x, y, z, если F(x, y, z) = 0 есть равенство, верное не всегда, т.е. не для всяких троек чисел x, y, z.

Пусть в пространстве дана какая – нибудь поверхность и вместе с тем выбрана некоторая система координат.

Уравнение данной поверхности (в выбранной системе координат) называется такое уравнение с тремя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой поверхности, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на ней.

Поверхность, определенная данным уравнением (в некоторой системе координат), есть место точек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

Замечание. Если М (x, y, z) – переменная точка поверхности, то x, y, z называют текущими координатами.

В пространственной аналитической геометрии каждая линия рассматривается как пересечение двух поверхностей и соответственно этому определяется заданием двух уравнений. F(x, y, z)

Именно, если F(x, y, z) = 0 и  (x, y, z) = 0 суть уравнения двух поверхностей, т.е. точек, координаты которых удовлетворяют одновременно и уравнению

F(x, y, z) = 0 и  (x, y, z) = 0.

Т. о., 2 уравнения совместно определяют линию L.

Геометрическая задача разыскания точек пересечения трех поверхностей равносильна алгебраической задаче совместного решения системы трех уравнений с тремя неизвестными.